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勃郁的豪情发过了酵，尖利的山风收住了劲，湍急的细流汇成了湖。

我们利用杨盘、标准杨图和杨定理来研究对称群SnS_n 的表示。
首先，我们简单回顾一下对称群SnS_n 的性质。

对称群SnS_n 是{1,2,...,n}\{1,2,...,n\} 上所有置换的集合，关于置换的乘积构成了一个群。
置换群是对称群的子群。

每个置换都可以表示为若干个不相交轮换的乘积，也可以分解为若干个可能相交的对换的乘积。
例如

(123456364125)=(134)(265),\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ 3 & 6 & 4 & 1 & 2 & 5 \end{pmatrix}=(134)(265),

而一个轮换又可以分解成若干个对换乘积，这里给出两种分解方式：

(a1a2...am)=(a1a2)(a2a3)...(am−1am)=(a1am)(a1am−1)...(a1a3)(a1a2).(a_1a_2...a_m)=(a_1a_2)(a_2a_3)...(a_{m-1}a_m)=(a_1a_m)(a_1a_{m-1})...(a_1a_3)(a_1a_2).

而且一个对换，又可以分解成若干个邻换，因为可以反复使用以下式子：

(a,a+k)=(a+1,a+k)(a,a+1)(a+1,a+k).(a,a+k)=(a+1,a+k)(a,a+1)(a+1,a+k).

例如

(14)=(24)(12)(24)=(34)(23)(34)(12)(34)(23)(34).(14)=(24)(12)(24)=(34)(23)(34)(12)(34)(23)(34).

因此，SnS_n 可以看作是由对换生成的，这样大大降低了求表示的复杂性，可以只对生成元求表示。

尽管一个置换的轮换分解不唯一，但是它的类型是唯一的。
置换类型是指一个置换的轮换分解中，轮换的长度序列。譬如一个(1ν1,2ν2,...,kνk)(1^{\nu_1},2^{\nu_2},...,k^{\nu_k}) 型置换，就是指轮换分解中有νi\nu_i 个长度为ii 的轮换。

例如(134)(265)(134)(265) 是一个222^2 型置换。

而SnS_n 中类型为(1ν1,2ν2,...,kνk)(1^{\nu_1},2^{\nu_2},...,k^{\nu_k}) 的置换个数为

n!1ν12ν2...kνkν1!ν2!...νk!.\frac{n!}{1^{\nu_1}2^{\nu_2}...k^{\nu_k}\nu_1!\nu_2!... \nu_k!}.

共轭运算不改变置换类型。即对于任意σ,π∈Sn\sigma,\pi \in S_n，σ\sigma 和πσπ−1\pi\sigma\pi^{-1} 具有相同的置换类型。

我们知道对于一个SnS_n 中的置换，如果置换类型为(1ν1,2ν2,...,kνk)(1^{\nu_1},2^{\nu_2},...,k^{\nu_k})，那么

ν1+2ν2+...+kνk=n.\nu_1+2\nu_2+...+k\nu_k=n.

因为轮换长度和就是nn。所以我们可以考虑定义一串单调下降的非负整数λ1,...,λk\lambda_1,...,\lambda_k 为：

λ1=ν1+ν2+...+νk,λ2=ν2+...+νk,...λk=νk.\begin{aligned} &\lambda_1= && \nu_1+&&\nu_2+...+&&\nu_k,\\ &\lambda_2= && &&\nu_2+...+&&\nu_k,\\ & && ...\\ &\lambda_k= && && &&\nu_k. \end{aligned}

因此有λ1+λ2+...+λk=n\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_k=n。用[λ]=[λ1λ2...λk][\lambda]=[\lambda_1\lambda_2...\lambda_k] 表示这样一组nn 的分割。
不难发现，我们可以直接对nn 作单调不下降的分割，譬如44 的分割有[4],[31],[22],[211],[1111][4],[31],[22],[211],[1111]。每个分割都一一对应了一个SnS_n 中的置换类型。
因此

nn 的不下降分割数 =SnS_n 中置换不同的类型数 =SnS_n 中类的个数 =SnS_n 的不等价、不可约表示的个数。

# 杨图、标准杨盘、杨算符

对于nn 的一个分割[λ]=[λ1...λk][\lambda]=[\lambda_1...\lambda_k]，可以定义对应[λ][\lambda] 的杨图，第ii 行有λi\lambda_i 个格子。例如n=5n=5 时，分割和对应的杨图为：

不难发现杨图有nn 个格子，然后我们在每个格子里不重复地填上1,2,...,n1,2,...,n 中的一个数，且每行的数从左到右单调递增，每列的数从上到下单调递增。这样填完数字后就得到了一个标准杨盘。

一个分割对应一个杨图，而一个杨图对应了多个标准杨盘。我们用T[λ]iT^[\lambda]_i 表示对应于分割[λ][\lambda] 的第ii 个标准杨盘。例如n=3n=3 时，有 3 个分割，分别有 1，2，1 个标准杨盘：

可以证明，对应于一个分割[λ][\lambda] 的标准杨盘的个数为

f[λ]=n!∏i,jgi,j,f^{[\lambda]}=\frac{n!}{\prod_{i,j}g_{i,j}},

其中，gi,jg_{i,j} 是杨图中第ii 行第jj 列的格子的钩长。譬如分割[643][643] 时，下左图蓝色点的钩长 = 4，右图为[643][643] 的每个点钩长填入了杨图中：

因此对应分割[643][643] 的标准杨盘个数为

f[643]=13!8⋅7⋅6⋅4⋅2⋅1⋅5⋅4⋅3⋅1⋅3⋅2⋅1=6435.f^{[643]}=\frac{13!}{8\cdot 7\cdot 6\cdot 4\cdot 2\cdot 1\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 1\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=6435.

特别地，f[n]=f[11...1]=1f^{[n]}=f^{[11...1]}=1。

对应于同一个杨盘[λ][\lambda] 的两个标准杨盘可以用一个置换σ∈Sn\sigma\in S_n 来关联。譬如分割[21][21] 的两个标准杨盘就有(23)T1[21]=T2[21](23)T^{[21]}_1=T^{[21]}_2：

接下来我们要定义杨算符了。
对于一个标准杨盘Tr[λ]T^{[\lambda]}_r，它的对称化算符P(Tr[λ])P(T^{[\lambda]}_r) 定义为每个行中数字的置换和，再乘起来。有点绕，直接看例子。对于下面这个标准杨盘T1[22]T^{[22]}_1:

我们知道第一行两个数字1,21,2 有 2 个置换：ee 和(12)(12)。第二行同理也有 2 个置换：ee 和(34)(34)。因此

P(T1[22])=(e+(12))⋅(e+(34))=e+(12)+(34)+(12)(34).P(T^{[22]}_1)=(e+(12))\cdot (e+(34))=e+(12)+(34)+(12)(34).

类似地，我们定义Tr[λ]T^{[\lambda]}_r 的反对称化算符Q(Tr[λ])Q(T^{[\lambda]}_r) 为每个列中数字置换的和的乘积，但是在求和中，如果一个置换是奇置换的话系数要变为 - 1。譬如

Q(T1[22])=(e−(12))⋅(e−(34))=e−(12)−(34)+(12)(34).Q(T^{[22]}_1)=(e-(12))\cdot (e-(34))=e-(12)-(34)+(12)(34).

注意，其中e,(12)(34)e,(12)(34) 都是偶置换，因为有偶数个对换。而(12)(12) 和(34)(34) 都是奇置换，因为有奇数个对换。

那么我们定义Tr[λ]T^{[\lambda]}_r 的杨算符为

E(Tr[λ])=P(Tr[λ])⋅Q(Tr[λ]).E(T^{[\lambda]}_r)=P(T^{[\lambda]}_r)\cdot Q(T^{[\lambda]}_r).

实际上可以验证，不同标准杨盘之间的杨算符是独立的。

# 第一种求SnS_n 不等价、不可约表示的方法（非酉表示）

根据之前所说，nn 的分割数等于SnS_n 中类的个数，也等于不等价不可约表示的个数。
因此我们用分割[λ][\lambda] 来标识一个不等价、不可约表示。即SnS_n 的所有不等价、不可约表示为

R[λ]:[λ] 是一个分割.R^{[\lambda]}:[\lambda]\text{ 是一个分割}.

(杨定理) SnS_n 的不等价不可约表示R[λ]R^{[\lambda]} 的维数，等于分割[λ][\lambda] 的标准杨盘个数：f[λ]f^{[\lambda]}。

下面我们以S3S_3 为例，来说明如何求表示。

  • 首先，我们求出所有n=3n=3 的分割、杨图、标准杨盘。如下：

很显然有 3 个分割，其中第二个分割[21][21] 有f[21]=2f^{[21]}=2 个标准杨盘，其余分割只有 1 个标准杨盘。
因此S3S_3 有 3 个不等价不可约表示，维数分别为 1，2，1。

  • 我们先求对应于分割[21][21] 的表示R[21]R^{[21]}。它有两个标准杨盘。

先选取一个函数ψ(1,2,3)\psi(1,2,3) 对应于第一个杨盘T1[21]T^{[21]}_1。根据T2[21]=(23)T1[21]T^{[21]}_2=(23)T^{[21]}_1，那么我们认为(23)ψ(1,2,3)=ψ(1,3,2)(23)\psi(1,2,3)=\psi(1,3,2) 为第二个杨盘的函数。

接下来我们构造基，这时需要用到杨算符。两个基函数Ψ1,Ψ2\Psi_1,\Psi_2 等于直接把杨算符作用在对应的函数上：

Ψ1=E(T1[21])ψ(1,2,3)=(e+(12))(e−(13))ψ(1,2,3)=(e+(12))(ψ(1,2,3)−ψ(3,2,1))=ψ(1,2,3)+ψ(2,1,3)−ψ(3,2,1)−ψ(3,1,2).Ψ2=E(T2[21])ψ(1,3,2)=(e+(13))(e−(12))ψ(1,3,2)=ψ(1,3,2)+ψ(3,1,2)−ψ(2,3,1)−ψ(2,1,3).\begin{aligned} \Psi_1&=E(T^{[21]}_1)\psi(1,2,3)\\ &=(e+(12))(e-(13))\psi(1,2,3)\\ &=(e+(12))(\psi(1,2,3)-\psi(3,2,1))\\ &=\psi(1,2,3)+\psi(2,1,3)-\psi(3,2,1)-\psi(3,1,2).\\ \Psi_2&=E(T^{[21]}_2)\psi(1,3,2)\\ &=(e+(13))(e-(12))\psi(1,3,2)\\ &=\psi(1,3,2)+\psi(3,1,2)-\psi(2,3,1)-\psi(2,1,3). \end{aligned}

注意，置换直接作用在ψ(x,y,z)\psi(x,y,z) 上对应的数字，而不是对应的位置。

此时我们已经构造出两个基了。然后不可约R[21](σ)R^{[21]}(\sigma) 表示作用在基上，就等于直接把置换作用上去。即：

R[21](12)Ψ1=(12)(ψ(1,2,3)+ψ(2,1,3)−ψ(3,2,1)−ψ(3,1,2))=ψ(2,1,3)+ψ(1,2,3)−ψ(3,1,2)−ψ(3,2,1)=Ψ1,R[21](12)Ψ2=(12)(ψ(1,3,2)+ψ(3,1,2)−ψ(2,3,1)−ψ(2,1,3))=ψ(2,3,1)+ψ(3,2,1)−ψ(1,3,2)−ψ(1,2,3)=−Ψ1−Ψ2. R[21](13)Ψ1=(13)(ψ(1,2,3)+ψ(2,1,3)−ψ(3,2,1)−ψ(3,1,2))=ψ(3,2,1)+ψ(2,3,1)−ψ(1,2,3)−ψ(1,3,2)=−Ψ1−Ψ2,R[21](13)Ψ2=(13)(ψ(1,3,2)+ψ(3,1,2)−ψ(2,3,1)−ψ(2,1,3))=ψ(3,1,2)+ψ(1,3,2)−ψ(2,1,3)−ψ(2,3,1)=Ψ2.\begin{aligned} R^{[21]}(12)\Psi_1 &=(12)(\psi(1,2,3)+\psi(2,1,3)-\psi(3,2,1)-\psi(3,1,2))\\ &=\psi(2,1,3)+\psi(1,2,3)-\psi(3,1,2)-\psi(3,2,1)\\ &=\Psi_1,\\ R^{[21]}(12)\Psi_2 &=(12)(\psi(1,3,2)+\psi(3,1,2)-\psi(2,3,1)-\psi(2,1,3))\\ &=\psi(2,3,1)+\psi(3,2,1)-\psi(1,3,2)-\psi(1,2,3)\\ &=-\Psi_1-\Psi_2.\\~\\ R^{[21]}(13)\Psi_1 &=(13)(\psi(1,2,3)+\psi(2,1,3)-\psi(3,2,1)-\psi(3,1,2))\\ &=\psi(3,2,1)+\psi(2,3,1)-\psi(1,2,3)-\psi(1,3,2)\\ &=-\Psi_1-\Psi_2,\\ R^{[21]}(13)\Psi_2 &=(13)(\psi(1,3,2)+\psi(3,1,2)-\psi(2,3,1)-\psi(2,1,3))\\ &=\psi(3,1,2)+\psi(1,3,2)-\psi(2,1,3)-\psi(2,3,1)\\ &=\Psi_2. \end{aligned}

因此

R[21](12)=(1−10−1),R[21](13)=(−10−11).R^{[21]}(12)=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 0 & -1 \end{pmatrix},\quad R^{[21]}(13)=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ -1 & 1 \end{pmatrix}.

其中是矩阵形式是左乘，即

(Ψ1Ψ2)(1−10−1)=(Ψ1−Ψ1−Ψ2).\begin{pmatrix} \Psi_1 & \Psi_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \Psi_1 & -\Psi_1-\Psi_2 \end{pmatrix}.

这样我们就求出来了表示R[21]R^{[21]}。

  • 剩下再来求R[3]R^{[3]} 和R[111]R^{[111]}。对于R[3]R^{[3]}，它只有一个标准杨盘，即维数是 1。那么只用定义一个函数ψ(1,2,3)\psi(1,2,3)，然后唯一的基

Ψ=E(T[3])ψ(1,2,3)=(e+(12)+(13)+(23)+(123)+(213))ψ(1,2,3)=ψ(1,2,3)+ψ(2,1,3)+ψ(3,2,1)+ψ(1,3,2)+ψ(2,3,1)+ψ(3,1,2).\begin{aligned} \Psi&=E(T^{[3]})\psi(1,2,3)\\ &=(e+(12)+(13)+(23)+(123)+(213))\psi(1,2,3)\\ &=\psi(1,2,3)+\psi(2,1,3)+\psi(3,2,1)+\psi(1,3,2)+\psi(2,3,1)+\psi(3,1,2). \end{aligned}

而且不难验证，

R[3](12)Ψ=(12)(ψ(1,2,3)+ψ(2,1,3)+ψ(3,2,1)+ψ(1,3,2)+ψ(2,3,1)+ψ(3,1,2))=ψ(2,1,3)+ψ(1,2,3)+ψ(3,1,2)+ψ(2,3,1)+ψ(1,3,2)+ψ(3,2,1)=Ψ.R^{[3]}(12)\Psi=(12)(\psi(1,2,3)+\psi(2,1,3)+\psi(3,2,1)+\psi(1,3,2)+\psi(2,3,1)+\psi(3,1,2))=\psi(2,1,3)+\psi(1,2,3)+\psi(3,1,2)+\psi(2,3,1)+\psi(1,3,2)+\psi(3,2,1)=\Psi.

即R[3](12)=1R^{[3]}(12)=1。类似可以验证

R[3](e)=R[3](12)=R[3](13)=R[3](23)=R[3](123)=R[3](132)=1.R^{[3]}(e)=R^{[3]}(12)=R^{[3]}(13)=R^{[3]}(23)=R^{[3]}(123)=R^{[3]}(132)=1.

对于R[111]R^{[111]} 的话，还是一维的，即一个函数ψ(1,2,3)\psi(1,2,3)，然后

Ψ=E(T[111])ψ(1,2,3)=(e−(12)−(13)−(23)+(123)+(132))ψ(1,2,3)=ψ(1,2,3)−ψ(2,1,3)−ψ(3,2,1)−ψ(1,3,2)+ψ(2,3,1)+ψ(3,1,2).\begin{aligned} \Psi &= E(T^{[111]})\psi(1,2,3)\\ &=(e-(12)-(13)-(23)+(123)+(132))\psi(1,2,3)\\ &=\psi(1,2,3)-\psi(2,1,3)-\psi(3,2,1)-\psi(1,3,2)+\psi(2,3,1)+\psi(3,1,2). \end{aligned}

然后可以验证

R[111](e)=1,R[111](12)=R[111](13)=R[111](23)=−1,R[111](123)=R[111](132)=1.R^{[111]}(e)=1,\qquad R^{[111]}(12)=R^{[111]}(13)=R^{[111]}(23)=-1,\qquad R^{[111]}(123)=R^{[111]}(132)=1.

  • 至此，我们求完了所有S3S_3 的表示R[3],R[21],R[111]R^{[3]},R^{[21]},R^{[111]}。但是它们并不是酉的。

# 第二种求SnS_n 不等价、不可约表示的方法（酉表示）

根据之前分析，SnS_n 可以由邻换生成，所以我们只求邻换的表示。

这里我们直接给出结果。还是考虑杨图和标准杨盘。考虑对换(k−1,k)(k-1,k)，酉表示U[λ]U^{[\lambda]}。

对于标准杨盘Tr[λ],r=1,...,f[λ]T^{[\lambda]}_r,r=1,...,f^{[\lambda]}。

  • 如果k−1,kk-1,k 在Tr[λ]T_r^{[\lambda]} 的同一行，那么Ur,r[λ](k−1,k)=1U_{r,r}^{[\lambda]}(k-1,k)=1.
  • 如果k−1,kk-1,k 在Tr[λ]T_r^{[\lambda]} 的同一列，那么Ur,r[λ](k−1,k)=−1U_{r,r}^{[\lambda]}(k-1,k)=-1.
  • 如果k−1,kk-1,k 不在Tr[λ]T_r^{[\lambda]} 同一行，同一列，然后(k−1,k)Tr[λ]=Ts[λ](k-1,k)T_r^{[\lambda]}=T_s^{[\lambda]}。即标准杨盘在对换(k−1,k)(k-1,k) 作用下变成了另一个标准杨盘Ts[λ]T_s^{[\lambda]}，那么

Ur,r[λ](k−1,k)=−ρ,Ur,s[λ](k−1,k)=1−ρ2,Us,r[λ](k−1,k)=1−ρ2,Us,s[λ](k−1,k)=ρ.U_{r,r}^{[\lambda]}(k-1,k)=-\rho,\quad U_{r,s}^{[\lambda]}(k-1,k)=\sqrt{1-\rho^2},\quad U_{s,r}^{[\lambda]}(k-1,k)=\sqrt{1-\rho^2},\quad U_{s,s}^{[\lambda]}(k-1,k)=\rho.

其中，1ρ=k−1\frac{1}{\rho}=k-1 到kk 在标准杨盘Tr[λ]T^{[\lambda]}_r 中的轴距离。即从k−1k-1 走到kk，往右往上的话 + 1，往左往下的话 - 1。譬如下图aa 到bb 的轴距离为 4:

  • 其他情况Ur,s[λ](k−1,k)=0U_{r,s}^{[\lambda]}(k-1,k)=0。

例如

U[21](12)=(100−1),U[21](23)=12(−1331),...U^{[21]}(12)=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix},\quad U^{[21]}(23)=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & \sqrt{3}\\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix},...

# SnS_n 到Sn−1S_{n-1} 的分支律

我们知道对称群Sn−1S_{n-1} 是SnS_n 的子群，所以SnS_n 的不可约表示Rn[λ]R^{[\lambda]}_n 在Sn−1S_{n-1} 中往往是可约的。
我们希望研究：

Rn[λ]=∑λ′⊕Rn−1[λ′].R^{[\lambda]}_n=\sum_{\lambda'}\oplus R^{[\lambda']}_{n-1}.

性质：Sn−1S_{n-1} 的每个不可约表示在约化时只会出现一次，即不会出现Rn[λ]=Rn−1[λ′]⊕Rn−1[λ′]⊕...R^{[\lambda]}_n=R^{[\lambda']}_{n-1}\oplus R^{[\lambda']}_{n-1}\oplus... 的情况。

上式有时也会被称为SnS_n 到Sn−1S_{n-1} 的分支律，记为Sn↓Sn−1S_n\downarrow S_{n-1}。

结论非常简单有效：如果杨图T[λ]T^{[\lambda]} 中去掉某个格子后，还是一个杨图，那么这个杨图对应的不可约表示就会出现在Rn[λ]R^{[\lambda]}_n 的分解中。

直接看一个例子，考虑n=4n=4 时，下面表示了它的杨图中哪些格子可以被去掉：

因此分支律S4↓S3S_4\downarrow S_3 为：

R4[4]=R3[3]R4[31]=R3[21]⊕R3[3]R4[22]=R3[21]R4[211]=R3[21]⊕R3[111]R4[1111]=R3[111].\begin{aligned} & R^{[4]}_4 = R^{[3]}_3 \\ & R^{[31]}_4=R^{[21]}_3\oplus R^{[3]}_3\\ & R^{[22]}_4=R^{[21]}_3\\ & R^{[211]}_4=R^{[21]}_3\oplus R^{[111]}_3\\ & R^{[1111]}_4=R^{[111]}_3. \end{aligned}

注意，我们要把Rn[λ]R^{[\lambda]}_n 限制在子群Sn−1S_{n-1} 上看。

# 对称群的不可约表示的外积分解

我们首先简要介绍一下，对于一个子群H≤GH\leq G，任何一个子群HH 的表示RR 都可以诱导出一个GG 的表示。

如果子群HH 的表示RR 的表示空间是VV，那么诱导出的GG 的表示空间是

IndHGV={f:G→V:f(hg)=R(h)⋅f(g):∀h∈H,g∈G}.Ind_H^G V = \{f:G\to V:f(hg)=R(h)\cdot f(g):\forall h\in H,g\in G\}.

即所有满足在子群HH 的表示RR 下左侧作用不变的函数的集合。
而这个空间的维数

dim⁡IndHGV=[G:H]⋅dim⁡V.\dim Ind_H^G V =[G:H]\cdot \dim V.

那么给定两个对称群Sn,SmS_n,S_m 的表示R[λ],R[μ]R^{[\lambda]},R^{[\mu]}，它们的外积R[λ]×R[μ]R^{[\lambda]}\times R^{[\mu]} 天然是群Sn×SmS_n\times S_m 的一个表示。而群Sn×Sm≤Sn+mS_n\times S_m\leq S_{n+m}，所以R[λ]⊗R[μ]R^{[\lambda]}\otimes R^{[\mu]} 可以诱导出一个Sn+mS_{n+m} 的表示，记为R[λ]⊙R[μ]R^{[\lambda]}\odot R^{[\mu]}。

显然这个表示的维数为

[Sn+m:Sn×Sm]⋅dim⁡R[λ]⋅dim⁡R[μ]=(n+m)!n!m!⋅f[λ]⋅f[μ].[S_{n+m}:S_n\times S_m]\cdot \dim R^{[\lambda]}\cdot \dim R^{[\mu]}=\frac{(n+m)!}{n!m!}\cdot f^{[\lambda]}\cdot f^{[\mu]}.

接下来我们考虑这个诱导出的表示，如何分解为Sn+mS_{n+m} 中不等价不可约表示的直和：

R[λ]⊙R[μ]=∑ν⊕aνR[ν],R^{[\lambda]}\odot R^{[\mu]}=\sum_{\nu}\oplus a_\nu R^{[\nu]},

其中[ν][\nu] 是n+mn+m 的分割。

此时需要用到 Littlewood 规则，通过杨图添加解决这个问题。

杨图T[ν]T^{[\nu]} 是在杨图T[λ]T^{[\lambda]} 的基础上，先添加μ1\mu_1 个标有α\alpha 的格子，再添加μ2\mu_2 个标有β\beta 的格子，再添加μ3\mu_3 个标有γ\gamma 的格子，… 得到的。添加过程需要受到限制：

  1. 在添加过程中每一步都要构成一个杨图，并且由相同标号的方格不能排在同一列。
  2. 从第一行开始从右往左数，会得到α,β,γ\alpha,\beta,\gamma 的一个序列，要求在任意前缀中 出现α\alpha 的次数≥\geq 出现β\beta 的次数≥\geq 出现γ\gamma 的次数…

例：计算R[21]⊙R[21]R^{[21]}\odot R^{[21]} 的分解。我们知道要往杨图T[21]T^{[21]} 中添加 2 个α\alpha 和 1 个β\beta。
先添加 2 个α\alpha，只需要注意让他们不在同一列即可。再添加 1 个β\beta，此时需要注意第 2 个约束。添加完后如下图

因此

R[21]⊙R[21]=R[42]⊕R[411]⊕R[33]⊕R[321]⊕R[321]⊕R[3111]⊕R[222]⊕R[2211].R^{[21]}\odot R^{[21]}=R^{[42]}\oplus R^{[411]}\oplus R^{[33]}\oplus R^{[321]}\oplus R^{[321]}\oplus R^{[3111]}\oplus R^{[222]}\oplus R^{[2211]}.

例：计算R[21]⊙R[111]R^{[21]}\odot R^{[111]} 的分解。添加 1 个α\alpha 和 1 个β\beta 和 1 个γ\gamma，结果如下：

因此

R[21]⊙R[111]=R[2111]⊕R[2211]⊕R[3111]⊕R[321].R^{[21]}\odot R^{[111]}=R^{[2111]}\oplus R^{[2211]}\oplus R^{[3111]}\oplus R^{[321]}.