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如题

我们来求 Dihedral group DN=⟨r,s:rN=s2=1,rs=sr−1⟩D_N=\langle r,s:r^N=s^2=1,rs=sr^{-1}\rangle 的所有不等价、不可约酉表示。

根据特征标正交性理论，我们知道不等价、不可约表示的特征标构成了类函数空间的一组基。所以不等价、不可约表示的个数等于（有限）群的共轭类个数。

我们知道DND_N 中的元素要么形如rir^i，要么形如srisr^i。那么共轭运算为：

  • rj⋅ri⋅r−j=rir^j\cdot r^i\cdot r^{-j}=r^i;
  • srj⋅ri⋅r−js=r−isr^j\cdot r^i\cdot r^{-j}s=r^{-i};
  • rj⋅sri⋅r−j=sri−2jr^j\cdot sr^i\cdot r^{-j}=sr^{i-2j};
  • srj⋅sri⋅r−js=sr2j−isr^j\cdot sr^i\cdot r^{-j}s=sr^{2j-i}.

前两行告诉我们，ri,r−ir^i,r^{-i} 一定在同一个类中。所以已经有共轭类：

若N是偶数:{1},{r,rN−1},...,{rN/2}共N2+1个类;若N是奇数:{1},{r,rN−1},...,{r(N−1)/2,r(N+1)/2}共N+12个类.\begin{aligned} &\text{若}N\text{是偶数}: && \{1\},\{r,r^{N-1}\},...,\{r^{N/2}\} \text{共}\tfrac{N}{2}+1\text{个类}; \\ &\text{若}N\text{是奇数}: && \{1\},\{r,r^{N-1}\},...,\{r^{(N-1)/2},r^{(N+1)/2}\} \text{共}\tfrac{N+1}{2}\text{个类}. \\ \end{aligned}

仔细观察第 3 行，我们会发现如果NN 是偶数时，{s,sr,sr2,...,srN−1}\{s,sr,sr^2,...,sr^{N-1}\} 会分裂成 2 个共轭类；否则如果NN 是奇数时，{s,sr,sr2,...,srN−1}\{s,sr,sr^2,...,sr^{N-1}\} 会是一个共轭类，因为−2-2 共NN 次就可以遍历所有元素。

若N是偶数:{s,sr2,sr4,...,srN−2},{sr,sr3,sr5,...,srN−1}共2个类;若N是奇数:{s,sr,sr2,sr3,...,srN−1}共1个类.\begin{aligned} &\text{若}N\text{是偶数}: && \{s,sr^2,sr^4,...,sr^{N-2}\},\{sr,sr^3,sr^5,...,sr^{N-1}\} \text{共}2\text{个类}; \\ &\text{若}N\text{是奇数}: && \{s,sr,sr^2,sr^3,...,sr^{N-1}\} \text{共}1\text{个类}. \\ \end{aligned}

综上，NN 为偶数时，共有N2+3\tfrac{N}{2}+3 个类，否则NN 为奇数时，共有N+12+1\tfrac{N+1}{2}+1 个类。

对于N≥3N\geq 3 时才会有二维不可约表示。可以考虑表示空间就是 2 维欧式空间，然后群元素作用就是其几何含义。
那么对于k=1,2,...,⌊N−12⌋k=1,2,...,\lfloor \frac{N-1}{2}\rfloor，都可以定义一个二维表示ρk\rho_k：

ρk(s)=(100−1),ρk(r)=(cos⁡2πkN−sin⁡2πkNsin⁡2πkNcos⁡2πkN).\rho_k(s)=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix},\quad \rho_k(r)=\begin{pmatrix} \cos\frac{2\pi k}{N} & -\sin\frac{2\pi k}{N}\\ \sin\frac{2\pi k}{N} & \cos\frac{2\pi k}{N}\\ \end{pmatrix}.

可以用特征标或者其他方式验证，这些表示都是不可约的。
对于一维表示，当NN 为奇数时，就只有 2 个：

{ρ(r)=1ρ(s)=1,{ρ(r)=1ρ(s)=−1.\begin{cases} \rho(r)=1\\ \rho(s)=1 \end{cases},\qquad \begin{cases} \rho(r)=1\\ \rho(s)=-1 \end{cases}.

当NN 为偶数时，有 4 个：

{ρ(r)=1ρ(s)=1,{ρ(r)=1ρ(s)=−1,{ρ(r)=−1ρ(s)=1,{ρ(r)=−1ρ(s)=−1.\begin{cases} \rho(r)=1\\ \rho(s)=1 \end{cases},\qquad \begin{cases} \rho(r)=1\\ \rho(s)=-1 \end{cases},\qquad \begin{cases} \rho(r)=-1\\ \rho(s)=1 \end{cases},\qquad \begin{cases} \rho(r)=-1\\ \rho(s)=-1 \end{cases}.

下面我们验证这些表示就是所有的不等价、不可约酉表示。

NN 为奇数时，一共有N−12+2\frac{N-1}{2}+2 个表示，NN 为偶数时，一共有N−22+4\frac{N-2}{2}+4 个表示。这恰好和共轭类数量相同。根据 Burnside 引理，可以验证维数的平方和就恰好为群的阶：

N−12⋅22+2⋅12=2N=∣DN∣=N−22⋅22+4⋅12.\frac{N-1}{2}\cdot 2^2+2\cdot 1^2=2N=|D_N|=\frac{N-2}{2}\cdot 2^2+4\cdot 1^2.

所以这些表示就是所有的不等价、不可约酉表示。