我明明在努力工作，却隔三岔五都会遇到歧视这份职业的人。他们的眼神里，有着对反驳的胆怯与警戒，有时候，还藏着一种 “你敢反驳我便应战” 的好战光芒。

原本以为熟练在 Haskell 中用 Monad 和 Monad transformer 了，结果发现阅读文献碰到时还是绕不开数学。

# 单位半群（Monoid）

这个相对简单，就是一个代数结构。当集合$S$ 上存在一个二元运算$*:S\times S\rightarrow S$ 和一个单位元$e\in S$ 满足：

1. $\forall a\in S,\;e*a=a*e=a$.

2. $\forall a,b,c\in S,\; a*(b*c)=(a*b)*c$.

那我们就称集合$S$ 和这个运算、单位元形成了一个单位半群（幺半群，Monoid）

例：自态射形成了一个 Monoid。考虑一个 category $\mathcal{C}$ 中只有一个元素$a$ 和很多 morphism，那么这些 morphism 都是从$a$ 到$a$ 的箭头，他们形成了一个 Monoid。其中$S$ 就是这些 morphism，二元运算是 morphism 的组合，单位元是 identity morphism。由于 category 的性质，故满足结合律和单位律，故形成了一个 Monoid。

# Monoidal Category

关于这个定义，可以说明几点。

1. 这个 monoidal structure 里的元素（譬如单位元），都是 category $\mathcal{C}$ 里面的 object。也就是说我们希望这个 category 本身就有一点 monoid 的结构。但是它不是一个 monoid 在于，结合律和单位律都是同构而不是相等。譬如在 category $\textbf{Set}$ 中，就是集合的同构而不是集合的相等。$\{(a,(b,c))\}$ 和$\{((a,b),c)\}$ 就是同构但不相等的。

2. 其次下面的 coherence conditions 其实是，我们可以利用$\alpha$ 找出很多个诸如下面这种同构：

   $$(((A_1\otimes A_2)\otimes A_3)\otimes ...\otimes A_n)\cong(A_1\otimes (A_1\otimes (A_3\otimes ...\otimes A_n)))$$

   因为你可以选择拆括号时不同的顺序，从而选择$\alpha$ 的不同的 arguments。coherence condition 就说明，这些同构都应该是同一个。

例：把 category $\textbf{Set}$ 补充成一个 monoidal category。bifunctor 选择笛卡尔积，即$A\otimes B=\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}$。然后 unit object 选择为一个特殊的单元素集$\{*\}$。可以验证譬如$\{((1,2),3),((4,5),6)\}\cong \{(1,(2,3)),(4,(5,6))\}$，以及$\{(1,*),(2,*)\}\cong\{1,2\}$ 这样有自然的 isomorphism 满足要求和 coherence condition。

# Monoid in monoidal category

下面我们定义，在一个 monoidal category 上自然导出一个 monoid：

例：考虑$\textbf{Set}$ 是一个 monoidal category，那么我们选择其中一个 object，譬如$M=\{0,1\}$。那么$M\otimes M=\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$。我们可以找到一个 morphism $\mu$，即模 2 乘法：

$$\mu(0,0)=0\\ \mu(0,1)=0\\ \mu(1,0)=0\\ \mu(1,1)=1$$

对于$\eta$，我们需要找到一个$\{*\}\rightarrow\{0,1\}$ 的映射，很显然有两个选择。如果我们选择$\eta_*=0$ 会怎样？那么第二个 diagram 将不 commute！因为$I\otimes M\stackrel{\eta\otimes 1}{\longrightarrow}M\otimes M\stackrel{\mu}{\longrightarrow}M$ 就会有映射：$(*,1)\mapsto(0,1)\mapsto 0$，显然这和直接用消去映射$\lambda(*,1)=1$ 得到的结果不一样。

所以我们需要选择$\eta_*=1$，这样就满足了要求。这个例子也阐释了，我们是怎么利用已有的 monoidal category 中那些 monoid structure（即$\alpha,\lambda,\rho$）构造一个 monoid 的。

# Monad

最终我们定义一个特殊情况：Monad is a monoid in the (monoidal) category of endofunctors.

考虑一个 category $\mathcal{C}$，显然可以找到一个 category $\mathcal{D}$：

• $\mathcal{D}$ 中的 object 是$\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{C}$ 的 functor。
• $\mathcal{D}$ 中的 morphism 是 functor 之间的 natural transformation。

那么$\mathcal{D}$ 是一个 monoidal category：

• 对于两个 functor $F,G\in\mathcal{D}$，$F\otimes G=F\circ G\in\mathcal{D}$。
• $I=1_{\mathcal{C}}$ 即$\mathcal{C}$ 上的 identity functor。

不难验证，这满足 monoidal category 的要求。实际上，$\mathcal{D}$ 是一个 strict monoidal category，因为根据 category 和 functor 的要求，实际上就有$F\circ(G\circ H)=(F\circ G)\circ H$，即不是同构而是直接相等。

那么我们就可以找出$\mathcal{D}$ 中的一个元素和两个 morphism，然后导出一个 monoid，即是 monad：

显然$T$ 是$\mathcal{D}$ 中的一个元素，而$\mu,\eta$ 也对应了导出 monoid 在 endofunctor category 下的情况。而特别的地方在于，由于 endofunctor category 是 strict monoidal category，那么$\alpha,\lambda,\rho$ 都是单位映射，即相等（因为在 category 里，要求了$1_{\mathcal{C}}\circ T=T\circ 1_{\mathcal{C}}=T$）。所以图中省略了$\alpha$ 部分，把$T\circ (T\circ T)$ 和$(T\circ T)\circ T$ 直接合并了，而且在右图中将$\lambda,\rho$ 改写为$=$。

例：我们仍考虑 category $\textbf{Set}$，那么 powerset 实际上就是一个 Monad。考虑一个 endofunctor $T(A\in\textbf{Set})=2^A\in\textbf{Set}$，那么我们可以定义$\eta_A:1_{\textbf{Set}}(A)\rightarrow T(A)$ 为$\eta_A(a\in A)=\{a\}$，譬如对于$A=\{1,2,3\}$，那么$A\stackrel{\eta_A}{\mapsto}\{\{1\},\{2\},\{3\}\}$。

然后定义$\mu_A:T(T(A))\rightarrow T(A)$ 其实就是把集合 flatten 一层。譬如对于$A=\{\{\{1,2\},\{3,4\}\},\{\{5\}\}\}$，那么$A\stackrel{\eta_A}{\mapsto}\{\{1,2,3,4\},\{5\}\}$。这就形成了一个 Monad。

注意，实际上 functor $T$ 应该不仅描述了 object 间的映射关系，还需要说明 morphism 间的映射关系。而$\textbf{Set}$ 上的 morphism 是集合之间的函数，那么对于 powerset 这个$T$，一个很自然的映射就是把函数（譬如$f(x)=x+1$）apply 在 powerset 里的每个 set。