抽到的 SSR 暑课

# 拓扑空间

# 拓扑空间

# 度量空间

我们用ρ(x,y)\rho(x,y) 表示点xxyy 的距离,当谈到点列{xn}nN\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}aa 为极限时,都意味着limnρ(xn,a)=0\lim_{n\rightarrow\infty}\rho(x_n,a)=0。这里定义的距离的本质上由下列四条基本性质确定:

  • ρ(x,y)0\rho(x,y)\geq 0
  • ρ(x,y)=0x=y\rho(x,y)=0\Leftrightarrow x=y
  • ρ(x,y)=ρ(y,x)\rho(x,y)=\rho(y,x)
  • ρ(x,z)ρ(x,y)+ρ(y,z)\rho(x,z)\leq \rho(x,y)+\rho(y,z)

我们把这四条性质称为度量公理,其中第四条称为三角不等式

定义

XX 为一非空几何,ρ:X×XR\rho:X\times X\rightarrow \mathbb{R} 为一函数,使得对XX 的任意点总满足度量公理,则ρ\rho 称为XX 上的一个度量,偶(X,ρ)(X,\rho) 称为以ρ\rho 为度量的度量空间。若x,yXx,y\in X,则ρ(x,y)\rho(x,y) 称为x,yx,y 间的距离。

:实数空间的通常度量E1=(R,ρ)E^1=(\mathbb{R},\rho)

ρ(x,y)=xyx,yR\rho(x,y)=|x-y|\quad x,y\in\mathbb{R}

# 度量空间的开集

定义

(X,ρ)(X,\rho) 为度量空间,xX,εx\in X,\varepsilon 为一正数,则称XX 的子集

B(x,ε)={yXρ(y,x)<ε}B(x,\varepsilon)=\{y\in X|\rho(y,x)<\varepsilon\}

为以xx 为中心,ε\varepsilon 为半径的球形邻域,简称xxε\varepsilon- 邻域

命题

B\mathscr{B} 为度量空间(X,ρ)(X,\rho) 的所有球形邻域组成的族,则

  • X=BBBX=\bigcup_{B\in\mathscr{B}}B.
  • B1,B2B,xB1B2B_1,B_2\in\mathscr{B},x\in B_1\cap B_2,则存在xx 的一个球形邻域BxB_x,使得xBxB1B2x\in B_x\subset B_1\cap B_2.
  • BB,xBB\in\mathscr{B},x\in B,则存在xx 的球形邻域BxB_x 使得xBxBx\in B_x\subset B.

证明,第一条因为所有的点xx 都属于它自己的球形邻域。第二个画画图能画出来可以取ε=min{ε1ρ(x,x1),ε2ρ(x,x2)}\varepsilon=min\{\varepsilon_1-\rho(x,x_1),\varepsilon_2-\rho(x,x_2)\}。第三条也很简单。

定义

度量空间(X,ρ)(X,\rho) 的子集AA,如果它是若干(有限或无限)个球形邻域的并,即存在子族B0B\mathscr{B}_0\subset\mathscr{B},使得A=BB0BA=\bigcup_{B\in\mathscr{B}_0}B,则AA 称为开集

根据定义,每个球形邻域自己也是开集。

定理

F\mathscr{F} 为度量空间(X,ρ)(X,\rho) 的全体开集组成的族,则F\mathscr{F} 满足下列开集公理

  • XFX\in\mathscr{F}.
  • F\emptyset\in\mathscr{F}.
  • O1,O2FO1O2FO_1,O_2\in\mathscr{F}\Rightarrow O_1\cap O_2\in\mathscr{F}.
  • 对任意子族F0F\mathscr{F}_0\subset\mathscr{F}, OF0OF\bigcup_{O\in\mathscr{F}_0}O\in\mathscr{F}.

# 拓扑空间

定义

XX 是集合,F\mathscr{F}XX 的一个子集族,其成员满足开集公理,则称F\mathscr{F} 为集合XX 上的一个拓扑F\mathscr{F} 称为XX开集。集合XX 与它的一个拓扑F\mathscr{F} 组成的偶(X,F)(X,\mathscr{F}) 称为拓扑空间,简称空间XX 的点、子集、开集与拓扑仍分别称为空间(X,F)(X,\mathscr{F}) 的点、子集、开集与拓扑。

任何度量空间都是拓扑空间,F\mathscr{F} 就是全体开集组成的族,被称为度量拓扑。因此nn 维欧氏空间EnE^n 以及 Hilbert 空间EωE^\omega 都是拓扑空间。

XX\neq\emptyset,令F={X,}\mathscr{F}=\{X,\emptyset\}F=2X\mathscr{F}'=2^XXX 的幂集,则不难验证(X,F)(X,\mathscr{F})(X,F)(X,\mathscr{F}') 分别称为集合XX 上的平凡拓扑离散拓扑

X={a,b,c}X=\{a,b,c\},令

F={,{a},{a,b},{a,c},{a,b,c}}\mathscr{F}=\{\emptyset,\{a\},\{a,b\},\{a,c\},\{a,b,c\}\}

不难验证F\mathscr{F}XX 的一个拓扑,因此(X,F)(X,\mathscr{F}) 是拓扑空间。

# 拓扑基

我们已经看到,度量空间的球形邻域族B\mathscr{B} 是它的度量拓扑F\mathscr{F} 的子族,而且每一开集可以由B\mathscr{B} 的成员通过并的运算得到。这与向量空间中的向量可以由它的基组成类似。因此我们把B\mathscr{B} 称为F\mathscr{F} 的基。

定义

设集合XX 的一个子集族B={Bα}αΓ\mathscr{B}=\{B_\alpha\}_{\alpha\in\Gamma} 满足下列两条性质:

  • X=αΓX=\bigcup_{\alpha\in\Gamma}.
  • α,βΓ,xBαBβ\alpha,\beta\in\Gamma,x\in B_\alpha\cap B_\beta, 则存在γΓ\gamma\in\Gamma 使得xBγBαBβx\in B_\gamma\subset B_\alpha\cap B_\beta.

则称B\mathscr{B}XX 的一个拓扑基

命题

B\mathscr{B} 是集合XX 的拓扑基,则XX 的子集AA 是关于B\mathscr{B} 的开集,当且仅当对每一点aAa\in A 存在BaBB_a\in\mathscr{B},使得aBaAa\in B_a\subset A

定理

B\mathscr{B} 是集合XX 的拓扑基,则关于B\mathscr{B} 的开集的全体F\mathscr{F}XX 的一个拓扑,而且BF\mathscr{B}\subset \mathscr{F}。特别,如果B\mathscr{B} 本身是个拓扑,则B=F\mathscr{B}=\mathscr{F}

命题

(X,F)(X,\mathscr{F}) 是拓扑空间,如果XX 的一个子集族BF\mathscr{B}\subset\mathscr{F},使得每个UFU\in\mathscr{F} 都是B\mathscr{B} 中成员的并,则B\mathscr{B}(X,F)(X,\mathscr{F}) 的拓扑基。特别,F\mathscr{F}(X,F)(X,\mathscr{F}) 的拓扑基。

设欧式空间EnE^n 的子集族:B1={B(x,ε)x\mathscr{B}_1=\{B(x,\varepsilon)|x 的坐标是有理数,ε\varepsilon 是正有理数}\}。则B1\mathscr{B}_1EnE^n 的一个拓扑基。

# 关于子集的基本概念

# 闭集

定义

如果XFX-FXX 的开集,则FF 称为XX闭集

定理

C\mathscr{C} 为空间XX 的全体闭集,则它满足闭集公理

  • C\emptyset\in\mathscr{C}.
  • XCX\in\mathscr{C}.
  • C1,C2CC1C2CC_1,C_2\in\mathscr{C}\Rightarrow C_1\cup C_2\in\mathscr{C}.
  • 对任意子族C0C,CC0CC\mathscr{C}_0\subset\mathscr{C},\bigcap_{C\in\mathscr{C}_0}C\in\mathscr{C}.

换言之,对集合XX 上给定的子集族C\mathscr{C},如果它满足闭集公理,则

F={XCCC}\mathscr{F}=\{X-C|C\in\mathscr{C}\}

就成为XX 上的一个拓扑。

# 邻域、内部与闭包

定义

xAx\in A 称为AAXX 中的一个内点,如果存在开集UU 使得xUAx\in U\subset A. 这时我们还说AAxxXX 中的一个邻域。若AA 本身是开集,就说AAxxXX 中的开邻域。 类似地,AA 称为BBXX 中的一个邻域,如果存在开集UU 使得BUAB\subset U\subset AAAXX 中的内点的全体称为AAXX内部,记作A˚\mathring{A}。当AA 是两个以上子集运算的结果时,我们记做(A)(A)^\circ

xx 与子集AA 的位置关系除了上述的内点之外,还有集中重要的位置关系值得注意。

如果点xxXX 中的每个邻域UU 包含A{x}A-\{x\} 的点,即U(A{x})U\cap(A-\{x\})\neq\emptyset,则称xxAAXX 中的一个聚点,当然内点也可能是聚点。AAXX 中的全体聚点称为AA导集,记为Aˊ\acute{A}。我们还把AAˊA-\acute{A} 的点称为AAXX 中的孤立点。子集AAˊA\cup\acute{A} 称为AAXX 中的闭包,记作Aˉ\bar{A}

于是,xAˉx\in\bar{A} 当且仅当对xx 的每个邻域UU 都有UAU\cap A\neq\empty

此外,如果点xxXX 中的每个邻域既含AA 的点,又含XAX-A 的点,则称xxAAXX 中的一个边界点AAXX 中的全体边界点称为AAXX 中的边界,记为A˙\dot{A}

定义

XX 的点列{xn}nN\{x_n\}_{n\in N} 称为收敛到点aXa\in X,如果对aaXX 中的任意邻域UU,存在正整数mm,使得n>mn>m 时,有xnUx_n\in U。这时也说aa 是点列{xn}nN\{x_n\}_{n\in N} 的极限(点),记作limnxn=a\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a。如果(X,ρ)(X,\rho) 是度量空间,则不难看出limnxn=a\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a 当且仅当limnρ(xn,a)=0\lim_{n\rightarrow\infty}\rho(x_n,a)=0

命题

XA˚=XA,(XA)=XAˉX-\mathring{A}=\overline{X-A},(X-A)^\circ=X-\bar{A}

会发现第二个式子就是第一个式子的直接推论。

根据定义: xXAx\in\overline{X-A}\Leftrightarrowxx 的每个邻域UUU(XA)U\cap(X-A)\neq\emptyset\LeftrightarrowxA˚xXA˚x\notin\mathring{A}\Leftrightarrow x\in X-\mathring{A}

命题

A˚\mathring{A} 是包含在AA 中所有开集的并,Aˉ\bar{A} 是包含AA 的所有闭集的交。

命题

XX 的任意子集A,BA,B

  • A˚AAˉ\mathring{A}\subset A\subset\bar{A}.
  • ABA\subset B,则A˚B˚\mathring{A}\subset\mathring{B},且AˉBˉ\bar{A}\subset\bar{B}.
  • AAXX 中的开集A˚=A\Leftrightarrow \mathring{A}=A
  • AAXX 中的闭集Aˉ=A\Leftrightarrow \bar{A}=A.
  • ((˚A))=A˚,Aˉˉ=Aˉ(\mathring(A))^\circ=\mathring{A},\bar{\bar{A}}=\bar{A}.
  • (AB)=A˚B˚,AB=AˉBˉ(A\cap B)^\circ=\mathring{A}\cap\mathring{B},\overline{A\cup B}=\bar{A}\cup\bar{B}.

# 连续映射与同胚

# 连续映射及其基本特征

定义

f:XYf:X\rightarrow Y 为空间XX 到空间YY 的一个函数,x0Xx_0\in X,如果对f(x0)Yf(x_0)\in Y 的任意邻域VV,总存在x0x_0 的一个邻域UU 使得f(U)Vf(U)\subset V,则称ff 在点x0x_0连续

ffXX 的每一点连续,则称ffXXYY连续映射,简称映射,当Y=E1Y=E^1,则称映射f:XE1f:X\rightarrow E^1 为连续的(实值)函数。

定理

f:XYf:X\rightarrow Y 是空间XX 到空间YY 的函数,那么以下论断等价:

  • ff 是映射.
  • YY 的任意开集VVf1(V)f^{-1}(V)XX 中的开集.
  • YY 的任意闭集FFf1(F)f^{-1}(F)XX 中的闭集.
  • 对任意AXA\subset Xf(Aˉ)f(A)f(\bar{A})\subset\overline{f(A)}.
  • 对任意BYB\subset Yf1(B)f1(Bˉ)\overline{f^{-1}(B)}\subset f^{-1}(\bar{B}).
  • YY 的任意拓扑基的每个成员BBf1(B)f^{-1}(B)XX 的开集.
  • 对任意BYB\subset Yf1(B˚)(f1(B))f^{-1}(\mathring{B})\subset (f^{-1}(B))^\circ.

定理

f:XYf:X\rightarrow Y 是空间XX 到空间YY 的给定函数,若ff 在点xXx\in X 处连续,则对XX 的每个收敛到xx 的点列{xn}nN\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}},有

limnxn=xlimnf(xn)=f(x)\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=x\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=f(x)

反之,若对于每个收敛到xx 的点列{xn}nN\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}} 都有limnxn=x\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=x,那么ff 在点xx 处连续。

# 映射举例

常值映射e:XYe:X\rightarrow Ye(X)e(X)YY 的独点子集,则ee 为映射。

内射i:AXi:A\rightarrow X,其中AA 是空间XX 的子空间,ii 定义为

i(a)=a,aAi(a)=a,a\in A

ii 为映射。特别地,当A=XA=X 则为恒等映射1:XX1:X\rightarrow X

f:XYf:X\rightarrow Yg:YZg:Y\rightarrow Z 均为映射,那么gf:XZg\circ f:X\rightarrow Z 也是映射。

f:XYf:X\rightarrow Y 是映射,AAXX 的子空间,由

(fA)(a)=f(a),aA(f|_A)(a)=f(a),a\in A

定义的fA:AYf|_A:A\rightarrow Y 也是映射,称为映射ffAA 上的限制,同时称fffAf|_AXX 上的扩张

f:XYf:X\rightarrow Y 是映射,BBYY 的子空间,使得f(X)Bf(X)\subset B,则由ff 确定的函数fB:XBf^B:X\rightarrow B:

fB(x)=f(x),xXf^B(x)=f(x),x\in X

也是映射,称为ffBB 中的诱导映射。特别,当B=f(X)B=f(X) 时,fB:Xf(X)f^B:X\rightarrow f(X) 也是映射。

粘接引理

F1,F2,...,FnF_1,F_2,...,F_nXX 的闭子空间,使得X=i=1nFiX=\bigcup_{i=1}^nF_ifi:FiYf_i:F_i\rightarrow Y 为给定映射,i=1,2,...,ni=1,2,...,n 且满足相容条件:

fiFiFj=fjFiFj,1i,jnf_i|_{F_i\cap F_j}=f_j|_{F_i\cap F_j},1\leq i,j\leq n

则由

f(x)=fi(x),xFif(x)=f_i(x),x\in F_i

定义的函数f:XYf:X\rightarrow Y 是映射。我们通常把上述定义写为

fFi=fi,i=1,2,...,nf|_{F_i}=f_i,i=1,2,...,n

# 同胚

S1S^1 是欧式平面(看作复平面)内的单位圆周,X=[0,1)E1X=[0,1)\in E^1。定义指数函数p:XS1p:X\rightarrow S^1

p(x)=e2πix,xXp(x)=e^{2\pi ix},x\in X

不能验证pp 是既单又满的映射。那么我们可以把线段[0,1)[0,1) 和圆周看作同样的图形吗?显然不可以,造成这两个图形差别大(一个是左闭的,一个是两头开的)的原因是p1:S1Xp^{-1}:S^1\rightarrow X 在点(1,0)(1,0) 处不连续。

定义

f:XYf:X\rightarrow Y 是既单又满的映射,且其逆f1:YXf^{-1}:Y\rightarrow X 也是映射,则ff 称为XXYY同胚,记作f:XYf:X\approx Y。如果存在这样的同胚,那么我们也说XXYY 拓扑等价或同胚等价,记作XYX\approx Y

(0,1)E1(0,1)\approx E^1。我们可以定义连续函数f:(0,1)E1f:(0,1)\rightarrow E^1f(t)=tan((t12)π),t(0,1)f(t)=tan((t-\frac{1}{2})\pi),t\in(0,1)。则ff 是同胚映射。

同胚(0,1)S1{(1,0)}(0,1)\approx S^1-\{(1,0)\},其中S1S^1 是欧式平面空间上的单位圆。

定理

拓扑等价(同胚)是一个等价关系:

  • XXX\approx X
  • XYYXX\approx Y\Leftrightarrow Y\approx X
  • XY,YZXZX\approx Y,Y\approx Z\Rightarrow X\approx Z

命题

开集、闭集、闭包、内部与点列的收敛性都是拓扑不变的

确切地说,如果f:XYf:X\approx Y,则UUXX 的开集,当且仅当f(U)f(U)YY 的开集。

如果f:XYf:X\rightarrow Y 是映射,而且ffXX 中每个开(闭)集映成YY 中的开(闭)集,则称ff开(闭)映射

命题

f:XYf:X\rightarrow Y 是空间XX 到空间YY 的函数,则下列彼此等价:

  • ff 是同胚
  • ff 是既单又满的开映射
  • ff 是既单又满的闭映射

最后,与同胚稍有差别的概念嵌入

定义

如果f:XYf:X\rightarrow Y 是映射,B=f(X)B=f(X),使得ffBB 中的诱导映射是同胚:

fB:Xf(X)f^B:X\approx f(X)

则称ff嵌入。并且当ff 是嵌入时,我们常常把XXff 的象f(X)f(X) 等同起来,从而把XX 看成YY 的子空间。

命题

f:XY,g:YXf:X\rightarrow Y,g:Y\rightarrow X 均为映射,使得合成

gf=1X:XXg\circ f=1_X:X\rightarrow X

ff 为嵌入。

# 紧致性

# 紧致空间

定义

D={Dα}αΓ\mathscr{D}=\{D_\alpha\}_{\alpha\in \Gamma} 是空间XX 的一族子集,AAXX 的子集,使得AαΓDαA\subset\bigcup_{\alpha\in\Gamma}D_\alpha,则称D\mathscr{D}AAXX 中的一个覆盖

如果覆盖D\mathscr{D} 中的每个成员都是开集,则我们称之为AAXX 中的一个开覆盖。若Γ\Gamma 为有限(可数)集合,那么称D\mathscr{D}AAXX 中的一个有限(可数)覆盖

ΛΓ\Lambda\subset\Gamma 使得D0={Dα}αΛ\mathscr{D}_0=\{D_\alpha\}_{\alpha\in\Lambda},则称D0\mathscr{D}_0D\mathscr{D} 的一个子覆盖,如果A=XA=X,则D\mathscr{D} 称为XX 的覆盖,省略 “在XX 中” 的描述。

拓扑空间(X,F)(X,\mathscr{F}) 中所有开集的族F\mathscr{F} 就是一个开覆盖。同样地,F\mathscr{F} 的拓扑基,所有球形邻域的集合B\mathscr{B} 也是一个开覆盖。

定义

如果空间XX 的任何开覆盖,都有一个有限子覆盖,确切地说,对XX 的任何开覆盖V={Vα}αΓ\mathscr{V}=\{V_\alpha\}_{\alpha\in\Gamma},存在子族V0={Vα1,...,Vαn}V\mathscr{V}_0=\{V_{\alpha_1},...,V_{\alpha_n}\}\subset\mathscr{V},使得V0\mathscr{V}_0 仍是XX 的覆盖,则称XX紧致拓扑空间

定义

AA 为空间XX 的子集,如果AA 作为子空间是紧致的,则称AAXX紧致子集(紧致子空间)

命题

AA 是空间XX 的子集,则AAXX 的紧致子集当且仅当AAXX 中的任何开覆盖都有有限子覆盖。

Heine-Borel-Lebesgue 定理

E1E^1 的任意闭区间[a,b][a,b] 是紧致子集。

E1E^1 本身并不是紧致的,事实上

U={(n,n)n=1,2,...}\mathscr{U}=\{(-n,n)|n=1,2,...\}

形成了E1E^1 的一个开覆盖,但是U\mathscr{U} 的任意有限子族{(n1,n1),(n2,n2),...,(nk,nk)}\{(-n_1,n_1),(-n_2,n_2),...,(-n_k,n_k)\} 的并并不是E1E^1 的覆盖,即U\mathscr{U} 没有有限子覆盖。

# 紧致空间的性质

命题

紧致空间的连续映射象仍是紧致的。特别,紧致性是拓扑(同胚)不变的。

命题

紧致空间的闭子集总是紧致的。

证明:设CC 是紧致空间XX 的闭子集,U\mathscr{U}CCXX 中的开覆盖,那么U{XC}\mathscr{U}\cup\{X-C\} 就成了XX 的一个开覆盖。

因为XX 是紧致的,故U{XC}\mathscr{U}\cup\{X-C\} 存在一个有限子覆盖。

然后可考虑这个有限子覆盖,去掉XCX-C 后就得到了U\mathscr{U} 的一个有限子覆盖。

Bolzano-Weierstrass 性质

紧致空间的无穷子集必有聚点。

证明:设XX 为紧致空间,我们证明没有聚点的任意子集AA 必为有限集。因Aˊ=\acute{A}=\emptysetAAXX 的闭集,由上个命题有AA 是紧致的。

对每一个点aAa\in A,存在aa 的一个开邻域UaU_a,使得UaA={a}U_a\cap A=\{a\}(因为aa 不是AA 的聚点)

于是就会有开覆盖{Ua}aA\{U_a\}_{a\in A}

又因为AA 是紧致的,故根据定义,其任意一个开覆盖都会有一个有限子覆盖{Ua}aA\{U_a\}_{a\in A'}

而每个UaU_a 中只包含AA 中的一个点,因为子覆盖是有限的,即AA 也是有限的。

# Hausdorff 空间中的紧致性

定义

若空间的任意两个不同点有不相交的邻域,则称之为 Hausdorff 空间,也说它满足T2T_2 公理。

事实上,任意度量空间都是 Hausdorff 空间。

命题

设集合AA 是 Hasudorff 空间XX 的紧致子集,xXAx\in X-A,则xxAA 有互不相交的邻域。从而 Hausdorff 空间的紧致子集总之闭集。

更一般地,Hausdorff 空间中任意两个不相交的紧致子集有不相交的邻域。

命题

紧致 Hausdorff 空间中的子集是紧致的,当且仅当它是闭的。

定义

若空间XX 的任意两个不相交的闭集有不相交的邻域,则称XX正规空间

定理

紧致 Hausdorff 空间是正规空间。

命题

空间XX 是正规的,当且仅当XX 中的每个闭集FF 的任意邻域包含FF 的一个邻域的闭包。

定理

从紧致空间XX 到 Hausdorff 空间YY 既单又满的映射是同胚。

# 度量空间的紧致性

定义

AA 是度量空间(X,ρ)(X,\rho) 的子集,如果存在正数mm,对任意x,yAx,y\in A,使得ρ(x,y)m\rho(x,y)\leq m 成立,则称AA有界的,否则称AA无界的

空集是约定有界的,对于有界子集AA,我们定义AA 的直径是非负实数

d(A)={0A=supx,yAρ(x,y)Ad(A)=\begin{cases}0&A=\emptyset\\ sup_{x,y\in A}|\rho(x,y)|&A\neq\emptyset \end{cases}

命题

度量空间(X,ρ)(X,\rho) 的紧致子集AA 总是有界闭集。

推论

紧致空间XXE1E^1 的任何连续函数均有界,而且能在XX 的点达到最大值与最小值。

Lebesgue 引理

V={Vα}αΓ\mathscr{V}=\{V_\alpha\}_{\alpha\in\Gamma} 是紧致度量空间(X,ρ)(X,\rho) 的开覆盖,则存在正数λ\lambda(称为开覆盖V\mathscr{V} 的 Lebesgue 数),使得XX 中的直径小于λ\lambda 的任何子集AA 必包含于V\mathscr{V} 的某个成员VαV_\alpha 中。

定理

从紧致度量空间(X,ρ)(X,\rho) 到度量空间(X,ρ)(X',\rho') 的连续映射ff 总是一致连续的,即对于任意正数ε\varepsilon,存在正数δ\delta 使得ρ(x,y)<δρ(f(x),f(y))<ε\rho(x,y)<\delta\Rightarrow\rho'(f(x),f(y))<\varepsilon

# 连通性

# 连通空间

定义

AABB 是空间XX 的非空子集,且(AˉB)(ABˉ)=(\bar{A}\cap B)\cup(A\cap\bar{B})=\empty,则称AABBXX 的一对分离子集。如果XX 不是一对分离子集的并,则称XX连通的,否则称XX 为非连通的。

E1E^1 中的区间(0,1),(1,2)(0,1),(1,2) 就是一对分离区间。因为(0,1)=[0,1]\overline{(0,1)}=[0,1],注意这里是在求闭包加入聚点而不是求补。而(0,1),[1,2)(0,1),[1,2) 就不是分离子集。

实直线E1=(,)E^1=(-\infty,\infty) 是连通空间。

定理

XX 是空间,则下列陈述彼此等价

  • XX 是连通的
  • XX 不是两个不相交非空开集的并
  • XX 不是两个不相交非空闭集的并
  • XX 中只有XX\emptyset 既开又闭
  • 对任意连续函数f:X\rightarrow E^1,f(X)\neq\

# 子集的连通性

定义

空间XX 的子集AA 称为XX连通子集,如果AA 作为XX 的子集是连通的。

命题

连通空间的连续映射象是连通集。

连通性是同胚不变的,即若XYX\approx Y,则XX 连通当且仅当YY 连通。

YY 为空间XX 的子空间,ZYZ\subset Y,则ZZYY 的连通子集当且仅当ZZXX 的连通子集。

引理

YYXX 的非空连通子集,AABBXX 中的一对分离子集,使得YABY\subset A\cup B。则YAY\subset AYBY\subset B

命题

在空间XX 中,设YY 是连通子集,且YY1YˉY\subset Y_1\subset\bar{Y},则Y1Y_1 也是连通的。特别地,若YY 连通,则Yˉ\bar{Y} 也是连通的。

实数轴上任意一个区间都是连通的。事实上。任意一个开区间还与E1E^1 同胚。

命题

YY 是空间XX 的连通子集{Yα}αΓ\{Y_\alpha\}_{\alpha\in\Gamma}XX 的一族连通子集,使得YαYY_\alpha\cap Y\neq\emptyset,对一切αΓ\alpha\in\Gamma 成立。则Y(αΓYα)Y\cup(\bigcup_{\alpha\in\Gamma}Y_\alpha) 仍是连通的。

定义

AA 是空间XX 的连通子集,而且又不是别的连通集的真子集,则称AAXX极大连通子集连通分支

命题

XX 的连通分支总是闭集。不同的连通分支彼此分离。

# 道路连通性

定义

f:IXf:I\rightarrow X 是映射,f(i)=xi,i=0,1f(i)=x_i,i=0,1。则称ffXX 中连接x0x_0x1x_1道路x0,x1x_0,x_1 分别称为道路的起点终点

如果XX 中任意两点都有XX 中道路连接,则称XX道路连通的

而映射fˉ(t)=f(1t)\bar{f}(t)=f(1-t) 则被称为ff逆道路

欧式空间中的子集XX 称为凸集如果对任意x,yXx,y\in X 由点xxyy 确定的闭线段

[x,y]={(1t)x+tytI}[x,y]=\{(1-t)x+ty|t\in I\}

整个包含于XX

现在,我们证明凸集XX 是道路连通的。定义f(t)=(1t)x+tyf(t)=(1-t)x+ty 易见f(I)Xf(I)\subset X,并且ff 是连续的,从而ff 是道路。

命题

σ,τ\sigma,\tauXX 中的道路,使得

σ(1)=y=τ(0)\sigma(1)=y=\tau(0)

则由下式

(στ)(t)={σ(2t)0t12τ(2t1)12t1(\sigma*\tau)(t)=\begin{cases}\sigma(2t)&0\leq t\leq\frac{1}{2}\\ \tau(2t-1)&\frac{1}{2}\leq t\leq 1 \end{cases}

定义的στ:IX\sigma*\tau:I\rightarrow X 是从σ(0)=x\sigma(0)=xσ(1)=z\sigma(1)=z 的道路。称为σ\sigmaτ\tau

命题

道路连接空间的连续映射象仍是道路连通的。特别地,道路连通性是拓扑不变的。

定义

AA 是空间XX 的道路连通子集,又不是别的道路连通子集的真子集,则称AAXX极大道路连通子集道路连通分支

命题

空间的每个非空道路连通子集恰包含于一个道路的连通分支中。每个空间都是互不相交的道路连通分支的并。

考虑这样一个点集X=YZX=Y\cup Z:

Y={(0,t)E21t1}Z={(x,sinπx)E20<x1}Y=\{(0,t)\in E^2|-1\leq t\leq 1\}\\ Z=\{(x,sin\frac{\pi}{x})\in E^2|0<x\leq 1\}

它是连通的,但不是道路连通的。

E1E^1E2E^2 是不同胚的。

# 乘积空间

# 乘积空间与乘积拓扑

命题

EnE^n 的子集族

B={U1×U2×U3×...×Un}\mathscr{B}=\{U_1\times U_2\times U_3\times...\times U_n\}

其中UiU_iE1E^1 的开集。那么该子集族是EnE^n 的一个拓扑基。

这个想以下,本质上就是nn 维欧氏空间的坐标是nn 个一维空间的直积。

定义

对给定的nn 个拓扑空间(Xi,Fi)(X_i,\mathscr{F}_i),选取点集的直积X=X1×...×XnX=X_1\times...\times X_n 的子集族:

B={U1×...×UnUiFi}\mathscr{B}=\{U_1\times...\times U_n|U_i\in\mathscr{F}_i\}

是集合XX 的一个拓扑基,被称为乘积拓扑XiX_i 被称为拓扑积XX 的第 i 个坐标(因子)空间

圆周S1S^1 与单位区间II 的拓扑积是以S1S^1 为准线,II 为母线的圆柱侧面,如下图:

1

然后可以考虑VVII 上的一个开集,UUS1S^1 上的一个开集,那么U×VU\times V 就是拓扑积S1×IS^1\times I 上的一个开集。

S1×{0}S^1\times\{0\}S1×{1}S^1\times\{1\} 分别是上个例子中圆柱的上底面和下底面。

环面是两个圆周S1S^1 的拓扑积:

2

整个环面上的点都可以用两个实数坐标确定。实际上,作为欧氏空间E3E^3 的子空间,它与E1×E1E^1\times E^1 是同胚的。

# 积空间的连续性

首先,我们描述坐标空间与积空间之间的映射,令

p1:X×YX,p2:X×YYp_1:X\times Y\rightarrow X,p_2:X\times Y\rightarrow Y

分别表示拓扑积X×YX\times Y 到第一个坐标空间XX 和第二个坐标空间YY 的投影。设x0,y0x_0,y_0 分别是X,YX,Y 中的给定点,还可以定义

i1(x)=(x,y0),i2(y)=(x0,y)i_1(x)=(x,y_0),i_2(y)=(x_0,y)

命题

投影p1p_1p2p_2 为满的开映射。

i1,i2i_1,i_2 均为映射,且分别把XXYY 嵌入X×YX\times Y 为子空间X×{y0}X\times\{y_0\}{x0}×Y\{x_0\}\times Y

例如实数轴E1E^1 可以嵌入欧式平面E2E^2 成为平行于坐标轴的直线。

下面这个命题讨论了任意空间ZZ 到拓扑积空间X×YX\times Y 的函数f:ZX×Yf:Z\rightarrow X\times Y 在什么情况下连续的问题,它使得我们把问题简化为验证每个坐标函数是否连续。

命题

函数f:ZX×Yf:Z\rightarrow X\times Y 连续,当且仅当坐标函数

p1f:ZX,p2f:ZYp_1\circ f:Z\rightarrow X,p_2\circ f:Z\rightarrow Y

均连续。

然而,如果有函数是从积空间到另一个空间f:X×YZf:X\times Y\rightarrow Z,而fi1f\circ i_1fi2f\circ i_2x0,y0x_0,y_0 处均连续,并不能推出ff(x0,y0)(x_0,y_0) 处连续。反例:

f(x,y)={xyx2+y2(x,y)00(x,y)=0f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2}&(x,y)\neq 0\\0&(x,y)=0\end{cases}

(0,0)(0,0) 处有(fi1)=f(x,0),(fi2)=f(0,y)(f\circ i_1)=f(x,0),(f\circ i_2)=f(0,y) 都是单独分别连续的,但是ff(0,0)(0,0) 处并不连续。因为可以沿着y=kxy=kx 这条线逼近原点,此时f(x,kx)k1+k2f(x,kx)\equiv \frac{k}{1+k^2} 不为 0。

命题

fi:XiYif_i:X_i\rightarrow Y_i 为映射,则可以定义

(f1×f2)(x1,x2)=(f1(x1),f2(x2))(f_1\times f_2)(x_1,x_2)=(f_1(x_1),f_2(x_2))

f1×f2:X1×X2Y1×Y2f_1\times f_2:X_1\times X_2\rightarrow Y_1\times Y_2 也是映射,称为f1f_1f2f_2拓扑积。由此可得

X1Y1,X2Y2X1×X2Y1×Y2X_1\approx Y_1,X_2\approx Y_2\Rightarrow X_1\times X_2\approx Y_1\times Y_2

# 有限可积性质

定义

如果有限个拓扑空间X1,...,XnX_1,...,X_n 具有性质PP,能够推出积空间X1×...×XnX_1\times...\times X_n 也有性质PP,那么称PP有限可积性质

命题

X×YX\times Y 是 Hausdorff 空间,当且仅当X,YX,Y 均为 Hausdorff 空间。

X×YX\times Y 是连通空间,当且仅当X,YX,Y 均为连通空间。

X×YX\times Y 是道路连通空间,当且仅当X,YX,Y 均为道路连通空间。

X×YX\times Y 是紧致的,当且仅当X,YX,Y 均为紧致的。

命题

aX,Ba\in X,BYY 的紧致子集,WW{a}×B\{a\}\times BX×YX\times Y 中的邻域。则存在XXYY 的开集U,VU,V 使得{a}×BU×VW\{a\}\times B\subset U\times V\subset W

最后,我们指出EnE^n 内有界闭集与紧致性的等价性:

EnE^n 的子集是紧致的,当且仅当它是有界闭集。

# 粘合空间

# 粘合拓扑

在这里可以先考虑一个例子,这个例子很好地说明了同胚空间的用处。考虑下图所示平面双摆

3

我们可以用(φ,ψ)(\varphi,\psi) 唯一地确定摆锤的一个位置,而且特别地,(φ+2nπ,ψ+2mπ)(\varphi+2n\pi,\psi+2m\pi)(φ,ψ)(\varphi,\psi) 对应同一个位置。因此我们考虑用一个边长为2π2\pi 的正方形,同时粘合两组对边组成的一个环面来描述摆锤的位置。

4

而同胚的概念,就可以形象地理解为,相近的摆锤的位置对应的点,在环面上也是相近的。

定义

(X,F)(X,\mathscr{F}) 为拓扑空间,\sim 是集合XX 中的一个等价关系,p:XX/p:X\rightarrow X/\simXX 到商集X/X/\sim 的自然投射,那么定义商集X/X/\sim 的子集族:

H={WX/p1(W)F}\mathscr{H}\sim=\{W\subset X/\sim|p^{-1}(W)\in\mathscr{F}\}

H\mathscr{H}\sim 是商集X/X/\sim 上的拓扑,称为F\mathscr{F} 关于等价关系\sim粘合拓扑(商拓扑)(X/,H)(X/\sim,\mathscr{H}\sim) 称为(X,F)(X,\mathscr{F}) 关于等价关系\sim粘合空间(商空间)

自然映射p:XX/p:X\rightarrow X/\sim 是满映射,称为粘合映射

更一般地,如果p:XYp:X\rightarrow Y 是满映射,使得YY 的子集WW 是开集当且仅当p1(W)p^{-1}(W)XX 的开集,则我们把这样的pp 称为粘合映射,YY 的拓扑称为ppYY诱导的粘合拓扑

命题

p:XYp:X\rightarrow Y 为粘合映射,f:XZf:X\rightarrow Z 为映射,使得对任意yYy\in Yf[p1(y)]f[p^{-1}(y)]ZZ 的独点集,即fp1f\circ p^{-1} 为函数,则函数fp1:YZf\circ p^{-1}:Y\rightarrow Z 是连续映射,且gp=fg\circ p=f,这可以标识为以下交换图:

5

命题

f:XYf:X\rightarrow Y 为粘合映射,KK 为紧致的 Hausdorff 空间,则ff 与恒等映射1K1_K 的拓扑积f×1K:X×KY×Kf\times 1_K:X\times K\rightarrow Y\times K 为粘合映射。

# 例子

AA 为空间XX 的子集,定义XX 上的等价关系为,AA 中的点相互等价,XAX-A 中的点互不等价,即只跟自己等价。如此得到的空间X/X/\sim 记作X/AX/A,形象化地理解为 “把AA 中的点捏成一个点”。

譬如I/{0,1}I/\{0,1\} 可以看作把单位区间两端捏在一起而成,并且I/{0,1}S1I/\{0,1\}\approx S^1。一般地,有

In/I˙nBn/Sn1SnI^n/\dot{I}^n\approx B^n/S^{n-1}\approx S^n

例(莫比乌斯带)

E2E^2 内的长方形X=[0,8]×[0,1]X=[0,8]\times[0,1] 开始,定义XX 中的等价关系为:(0,y)(8,1y),yI(0,y)\sim(8,1-y),y\in I,此外每个点与自己等价。所得的粘合空间就为莫比乌斯带。

例(克莱因瓶)

E2E^2 内的正方形X=I2X=I^2 开始,定义XX 中的等价关系为(0,y)(1,y),yI;(x,0)(1x,1),xI(0,y)\sim(1,y),y\in I;(x,0)\sim(1-x,1),x\in I,此外每个点都与自己等价。所得空间为克莱因瓶。相比于环面,在把正方形卷成圆柱后,克莱因瓶是把上下底面方向相反地粘在一起,导致必然会有曲面相交。

# 基本群

# 映射的同伦与空间的同伦型

# 映射的同伦

定义

f0,f1:XYf_0,f_1:X\rightarrow Y 是两个映射,如果存在连续映射H:X×IYH:X\times I\rightarrow Y 使得

H(x,t)=ft(x),xX,t=0,1H(x,t)=f_t(x),x\in X,t=0,1

就说f0f_0 同伦f1f_1,记作f0Hf1:XYf_0\stackrel{H}{\simeq}f_1:X\rightarrow Y,或简记为f0Hf1f_0\stackrel{H}{\simeq}f_1,甚至记为f0f1f_0\simeq f_1。其中HH 称为f0f_0f1f_1 的一个同伦伦移

理解同伦关系可以把tt 理解为时间,把映射理解为空间路径。即可以在一定时间内,从形状 1,连续地变化为形状 2。

CC 为欧氏空间内的一个凸集,f,gf,g 是任意空间到CC 的映射,定义H:X×ICH:X\times I\rightarrow C

H(x,t)=(1t)f(x)+tg(x)H(x,t)=(1-t)f(x)+tg(x)

HHffgg 的一个同伦。特别地,若gg 是常值映射,则ff 同伦于常值映射,被称为是零伦的,写作f0f\simeq 0

定理

同伦关系\simeqYXY^X 上的等价关系。

证明:自反性,可以构造H(x,t)f(x)H(x,t)\equiv f(x),则fHff\stackrel{H}{\simeq}f

对称性,可构造同伦的逆Hˉ(x,t)=H(x,1t)\bar{H}(x,t)=H(x,1-t),即时间倒流的形变。

传递性,可以先进行形变 1,再进行形变 2,即:

H(x,t)={H1(x,2t)0t12H2(x,2t1)12t1H(x,t)=\begin{cases}H_1(x,2t)&0\leq t\leq\frac{1}{2}\\ H_2(x,2t-1)&\frac{1}{2}\leq t\leq 1 \end{cases}

考虑粘接引理,它是一个连续映射。故证毕。

引理

f0f1:XY,g0g1:YZf_0\simeq f_1:X\rightarrow Y,g_0\simeq g_1:Y\rightarrow Zg0f0g1f1:XZg_0\circ f_0\simeq g_1\circ f_1:X\rightarrow Z

# 空间的同伦型

定义

若有映射f:XYf:X\rightarrow Yg:YXg:Y\rightarrow X 使得gf=1X,fy=1Yg\circ f=1_X,f\circ y=1_Y,则称映射ff 为从XXYY同伦等价gg 称为ff同伦逆,并且也说XXYY同伦等价的,或说XXYY 有相同的同伦型,记作f:XYf:X\simeq Y

在同伦等价映射下保持不变的性质被称为同伦不变性质

定理

同伦关系\simeq 是拓扑空间上的等价关系。

欧式空间的凸集与独点空间有相同的同伦型。事实上,若XX 是凸集,aXa\in X,令i:{a}Xi:\{a\}\hookrightarrow X 是内射,r:X{a}r:X\rightarrow\{a\} 是常值映射,则有ri=1{a}r\circ i = 1_{\{a\}}

又由于任意空间到欧氏空间凸集的映射都是同伦的(见前例),故有ri1Xr\circ i\simeq 1_X

n1n\geq 1En{O}Sn1E^n-\{O\}\simeq S^{n-1}。可以定义

i:Sn1En{O},i(x)=xr:En{O}Sn1,r(x)=xxi:S^{n-1}\rightarrow E^n-\{O\},i(x)=x\\ r:E^n-\{O\}\rightarrow S^{n-1},r(x)=\frac{x}{||x||}\\

于是有ri=1Sn1r\circ i=1_{S^{n-1}}。那么考虑证明ir1En{O}i\circ r\simeq 1_{E^n-\{O\}}

H:(En{O})×IEn{O}H(x,t)=tx+(1t)xxH:(E^n-\{O\})\times I\rightarrow E^n-\{O\}\\ H(x,t)=tx+(1-t)\frac{x}{||x||}

在二维情况下,可以理解为运动趋势:

6

这里也可以理解为什么要挖去原点。因为尽管可以构造H(0,t)H(0,t) 向某个方向移动,但一定会导致在x=0x=0 处不是连续的。

定义

AAXX 的子空间,i:AXi:A\hookrightarrow X 表示内射,如果存在映射r:XAr:X\rightarrow A,使得ri=1Ar\circ i=1_A,则rr 称为XXAA保核收缩(映射)AA 称为XX收缩核

如果除此之外还有同伦1XHir1_X\stackrel{H}{\simeq}i\circ r,则HH 称为XXAA 的一个形变收缩AA 称为XX形变收缩核

假如同伦还满足条件aA,tI,H(a,t)=a\forall a\in A,t\in I,H(a,t)=a,则称HHXXAA 的一个强形变收缩AA 称为XX强形变收缩核

# 零伦与可缩空间

定义

与独点空间同伦型相同的空间称为可缩的

命题

考虑一种锥形。对任意空间XX,粘合空间X×I/X×{1}X\times I/X\times\{1\} 被称为XX 上的锥形,记作CXCX。对应x[x,0]x\rightarrow [x,0]XX 嵌成锥形CXCX 的闭子空间,称为CXCX 的底,X×{1}X\times\{1\} 的粘合象称为CXCX 的顶点。

这样的锥形都是可缩的。

同时,f0f\simeq 0 当且仅当ff 可以扩张到锥形上。

命题

以下短语等价

  • XX 可缩
  • 1X01_X\simeq 0
  • 对任意空间YY 和映射f:XY,f0f:X\rightarrow Y,f\simeq 0
  • 对任意空间ZZ 和映射g:ZX,g0g:Z\rightarrow X,g\simeq 0
  • XX 是锥形CXCX 的收缩核

# 相对同伦

AA 是空间XX 的子集,则有序偶(X,A)(X,A) 称为空间偶。又若f:XYf:X\rightarrow Y 把子集AA 映射到YY 的子集BB,则我们把它记为

f:(X,A)(Y,B)f:(X,A)\rightarrow(Y,B)

称为空间偶到空间偶的映射。若f:(X,A)(Y,B),g:(Y,B)(X,A)f:(X,A)\rightarrow (Y,B),g:(Y,B)\rightarrow(X,A) 均为映射,使得gf=1X,fg=1Yg\circ f=1_X,f\circ g=1_Y,则称ff 为空间偶的同胚,记作

f:(X,A)(Y,B)f:(X,A)\approx (Y,B)

F:X×IYF:X\times I\rightarrow Y 是同伦,使得F(A×I)BF(A\times I)\subset B,则记作F:(X×I,A×I)(Y,B)F:(X\times I,A\times I)\rightarrow(Y,B)F:(X,A)×I(Y,B)F:(X,A)\times I\rightarrow (Y,B),称为空间偶(X,A)(X,A)(Y,B)(Y,B) 间的同伦。

又若

F(X,0)=f0(x),F(x,1)=f1(x)F(X,0)=f_0(x),F(x,1)=f_1(x)

则称FF 是偶的映射f0f_0f1f_1 的同伦,记作

f0Ff1:(X,A)(Y,B)f_0\stackrel{F}{\simeq}f_1:(X,A)\rightarrow(Y,B)

更进一步,如果

aA,tI,F(a,t)=f0(a)=f1(a)\forall a\in A,t\in I,F(a,t)=f_0(a)=f_1(a)

则称为相对于AAf0f_0 同伦于f1f_1 记作f0Ff1:XY  rel  Af_0\stackrel{F}{\simeq}f_1:X\rightarrow Y\;rel\;A

# 基本群的定义

# 道路类的积

首先,显然地,道路的积并不满足结合律,因为它并不是三等分,而是 1/4,1/4,1/2 这样合成的三条路。

为了解决这个问题,用rel  I˙rel\;\dot{I} 的同伦类来代替道路:

定义

f0,f1:IXf_0,f_1:I\rightarrow X 是两条道路,使得f0i=f1if_0|_i=f_1|_if0(0)=f1(0),f0(1)=f1(1)f_0(0)=f_1(0),f_0(1)=f_1(1)。如果f0f1:IX  rel  I˙f_0\simeq f_1:I\rightarrow X\;rel\;\dot{I},则称f0f_0f1f_1等价的道路。记作f0.f1f_0\stackrel{.}{\simeq}f_1,仍用[f0][f_0] 表示f0f_0 所在的等价类,称为f0f_0道路类

根据定义,f0.f1f_0\stackrel{.}{\simeq}f_1 意味着有一个映射F:I×IXF:I\times I\rightarrow X 使得

F(t,0)=f0(t),F(t,1)=f1(t)F(0,s)=f0(0),F(1,s)=f0(1)F(t,0)=f_0(t),F(t,1)=f_1(t)\\ F(0,s)=f_0(0),F(1,s)=f_0(1)

直观意义如图

7

可以看作FF 把一个单位正方形,连续地映射到了一个纺锤形。

XXEnE^n 中的凸集,x0,x1X,α,βx_0,x_1\in X,\alpha,\betaXX 中从x0x_0x1x_1 的两条道路,则α.β\alpha\stackrel{.}{\simeq}\beta。定义的H:I×IXH:I\times I\rightarrow X

H(t,s)=(1s)α(t)+sβ(t)H(t,s)=(1-s)\alpha(t)+s\beta(t)

引理

f0.f1,g0.g1,f0(1)=g0(0)f_0\stackrel{.}{\simeq}f_1,g_0\stackrel{.}{\simeq}g_1,f_0(1)=g_0(0)