抽到的 SSR 暑课

# 拓扑空间

# 度量空间

我们用 $\rho(x,y)$ 表示点 $x$ 到 $y$ 的距离，当谈到点列 $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ 以 $a$ 为极限时，都意味着 $\lim_{n\rightarrow\infty}\rho(x_n,a)=0$ 。这里定义的距离的本质上由下列四条基本性质确定：

$\rho(x,y)\geq 0$
$\rho(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$
$\rho(x,y)=\rho(y,x)$
$\rho(x,z)\leq \rho(x,y)+\rho(y,z)$

我们把这四条性质称为度量公理，其中第四条称为三角不等式。

定义

设 $X$ 为一非空几何， $\rho:X\times X\rightarrow \mathbb{R}$ 为一函数，使得对 $X$ 的任意点总满足度量公理，则 $\rho$ 称为 $X$ 上的一个度量，偶 $(X,\rho)$ 称为以 $\rho$ 为度量的度量空间。若 $x,y\in X$ ，则 $\rho(x,y)$ 称为 $x,y$ 间的距离。

例：实数空间的通常度量 $E^1=(\mathbb{R},\rho)$ ：

$\rho(x,y)=|x-y|\quad x,y\in\mathbb{R}$

# 度量空间的开集

定义

设 $(X,\rho)$ 为度量空间， $x\in X,\varepsilon$ 为一正数，则称 $X$ 的子集

$B(x,\varepsilon)=\{y\in X|\rho(y,x)<\varepsilon\}$

为以 $x$ 为中心， $\varepsilon$ 为半径的球形邻域，简称 $x$ 的 $\varepsilon-$ 邻域。

命题

设 $\mathscr{B}$ 为度量空间 $(X,\rho)$ 的所有球形邻域组成的族，则

$X=\bigcup_{B\in\mathscr{B}}B$ .
若 $B_1,B_2\in\mathscr{B},x\in B_1\cap B_2$ ，则存在 $x$ 的一个球形邻域 $B_x$ ，使得 $x\in B_x\subset B_1\cap B_2$ .
若 $B\in\mathscr{B},x\in B$ ，则存在 $x$ 的球形邻域 $B_x$ 使得 $x\in B_x\subset B$ .

证明，第一条因为所有的点 $x$ 都属于它自己的球形邻域。第二个画画图能画出来可以取 $\varepsilon=min\{\varepsilon_1-\rho(x,x_1),\varepsilon_2-\rho(x,x_2)\}$ 。第三条也很简单。

定义

度量空间 $(X,\rho)$ 的子集 $A$ ，如果它是若干（有限或无限）个球形邻域的并，即存在子族 $\mathscr{B}_0\subset\mathscr{B}$ ，使得 $A=\bigcup_{B\in\mathscr{B}_0}B$ ，则 $A$ 称为开集。

根据定义，每个球形邻域自己也是开集。

定理

设 $\mathscr{F}$ 为度量空间 $(X,\rho)$ 的全体开集组成的族，则 $\mathscr{F}$ 满足下列开集公理：

$X\in\mathscr{F}$ .
$\emptyset\in\mathscr{F}$ .
$O_1,O_2\in\mathscr{F}\Rightarrow O_1\cap O_2\in\mathscr{F}$ .
对任意子族 $\mathscr{F}_0\subset\mathscr{F}$ , $\bigcup_{O\in\mathscr{F}_0}O\in\mathscr{F}$ .

# 拓扑空间

定义

设 $X$ 是集合， $\mathscr{F}$ 是 $X$ 的一个子集族，其成员满足开集公理，则称 $\mathscr{F}$ 为集合 $X$ 上的一个拓扑， $\mathscr{F}$ 称为 $X$ 的开集。集合 $X$ 与它的一个拓扑 $\mathscr{F}$ 组成的偶 $(X,\mathscr{F})$ 称为拓扑空间，简称空间。 $X$ 的点、子集、开集与拓扑仍分别称为空间 $(X,\mathscr{F})$ 的点、子集、开集与拓扑。

例

任何度量空间都是拓扑空间， $\mathscr{F}$ 就是全体开集组成的族，被称为度量拓扑。因此 $n$ 维欧氏空间 $E^n$ 以及 Hilbert 空间 $E^\omega$ 都是拓扑空间。

例

设 $X\neq\emptyset$ ，令 $\mathscr{F}=\{X,\emptyset\}$ ， $\mathscr{F}'=2^X$ 为 $X$ 的幂集，则不难验证 $(X,\mathscr{F})$ 和 $(X,\mathscr{F}')$ 分别称为集合 $X$ 上的平凡拓扑与离散拓扑。

例

设 $X=\{a,b,c\}$ ，令

$\mathscr{F}=\{\emptyset,\{a\},\{a,b\},\{a,c\},\{a,b,c\}\}$

不难验证 $\mathscr{F}$ 是 $X$ 的一个拓扑，因此 $(X,\mathscr{F})$ 是拓扑空间。

# 拓扑基

我们已经看到，度量空间的球形邻域族 $\mathscr{B}$ 是它的度量拓扑 $\mathscr{F}$ 的子族，而且每一开集可以由 $\mathscr{B}$ 的成员通过并的运算得到。这与向量空间中的向量可以由它的基组成类似。因此我们把 $\mathscr{B}$ 称为 $\mathscr{F}$ 的基。

定义

设集合 $X$ 的一个子集族 $\mathscr{B}=\{B_\alpha\}_{\alpha\in\Gamma}$ 满足下列两条性质：

$X=\bigcup_{\alpha\in\Gamma}$ .
若 $\alpha,\beta\in\Gamma,x\in B_\alpha\cap B_\beta$ , 则存在 $\gamma\in\Gamma$ 使得 $x\in B_\gamma\subset B_\alpha\cap B_\beta$ .

则称 $\mathscr{B}$ 为 $X$ 的一个拓扑基。

命题

设 $\mathscr{B}$ 是集合 $X$ 的拓扑基，则 $X$ 的子集 $A$ 是关于 $\mathscr{B}$ 的开集，当且仅当对每一点 $a\in A$ 存在 $B_a\in\mathscr{B}$ ，使得 $a\in B_a\subset A$ 。

定理

设 $\mathscr{B}$ 是集合 $X$ 的拓扑基，则关于 $\mathscr{B}$ 的开集的全体 $\mathscr{F}$ 是 $X$ 的一个拓扑，而且 $\mathscr{B}\subset \mathscr{F}$ 。特别，如果 $\mathscr{B}$ 本身是个拓扑，则 $\mathscr{B}=\mathscr{F}$ 。

命题

设 $(X,\mathscr{F})$ 是拓扑空间，如果 $X$ 的一个子集族 $\mathscr{B}\subset\mathscr{F}$ ，使得每个 $U\in\mathscr{F}$ 都是 $\mathscr{B}$ 中成员的并，则 $\mathscr{B}$ 是 $(X,\mathscr{F})$ 的拓扑基。特别， $\mathscr{F}$ 是 $(X,\mathscr{F})$ 的拓扑基。

例

设欧式空间 $E^n$ 的子集族： $\mathscr{B}_1=\{B(x,\varepsilon)|x$ 的坐标是有理数， $\varepsilon$ 是正有理数 $\}$ 。则 $\mathscr{B}_1$ 是 $E^n$ 的一个拓扑基。

# 关于子集的基本概念

# 闭集

定义

如果 $X-F$ 是 $X$ 的开集，则 $F$ 称为 $X$ 的闭集。

定理

设 $\mathscr{C}$ 为空间 $X$ 的全体闭集，则它满足闭集公理：

$\emptyset\in\mathscr{C}$ .
$X\in\mathscr{C}$ .
$C_1,C_2\in\mathscr{C}\Rightarrow C_1\cup C_2\in\mathscr{C}$ .
对任意子族 $\mathscr{C}_0\subset\mathscr{C},\bigcap_{C\in\mathscr{C}_0}C\in\mathscr{C}$ .

换言之，对集合 $X$ 上给定的子集族 $\mathscr{C}$ ，如果它满足闭集公理，则

$\mathscr{F}=\{X-C|C\in\mathscr{C}\}$

就成为 $X$ 上的一个拓扑。

# 邻域、内部与闭包

定义

点 $x\in A$ 称为 $A$ 在 $X$ 中的一个内点，如果存在开集 $U$ 使得 $x\in U\subset A$ . 这时我们还说 $A$ 是 $x$ 在 $X$ 中的一个邻域。若 $A$ 本身是开集，就说 $A$ 是 $x$ 在 $X$ 中的开邻域。类似地， $A$ 称为 $B$ 在 $X$ 中的一个邻域，如果存在开集 $U$ 使得 $B\subset U\subset A$ 。 $A$ 在 $X$ 中的内点的全体称为 $A$ 在 $X$ 的内部，记作 $\mathring{A}$ 。当 $A$ 是两个以上子集运算的结果时，我们记做 $(A)^\circ$ 。

点 $x$ 与子集 $A$ 的位置关系除了上述的内点之外，还有集中重要的位置关系值得注意。

如果点 $x$ 在 $X$ 中的每个邻域 $U$ 包含 $A-\{x\}$ 的点，即 $U\cap(A-\{x\})\neq\emptyset$ ，则称 $x$ 为 $A$ 在 $X$ 中的一个聚点，当然内点也可能是聚点。 $A$ 在 $X$ 中的全体聚点称为 $A$ 的导集，记为 $\acute{A}$ 。我们还把 $A-\acute{A}$ 的点称为 $A$ 在 $X$ 中的孤立点。子集 $A\cup\acute{A}$ 称为 $A$ 在 $X$ 中的闭包，记作 $\bar{A}$ 。

于是， $x\in\bar{A}$ 当且仅当对 $x$ 的每个邻域 $U$ 都有 $U\cap A\neq\empty$ 。

此外，如果点 $x$ 在 $X$ 中的每个邻域既含 $A$ 的点，又含 $X-A$ 的点，则称 $x$ 为 $A$ 在 $X$ 中的一个边界点。 $A$ 在 $X$ 中的全体边界点称为 $A$ 在 $X$ 中的边界，记为 $\dot{A}$ 。

定义

$X$ 的点列 $\{x_n\}_{n\in N}$ 称为收敛到点 $a\in X$ ，如果对 $a$ 在 $X$ 中的任意邻域 $U$ ，存在正整数 $m$ ，使得 $n>m$ 时，有 $x_n\in U$ 。这时也说 $a$ 是点列 $\{x_n\}_{n\in N}$ 的极限（点），记作 $\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a$ 。如果 $(X,\rho)$ 是度量空间，则不难看出 $\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a$ 当且仅当 $\lim_{n\rightarrow\infty}\rho(x_n,a)=0$ 。

命题

$X-\mathring{A}=\overline{X-A},(X-A)^\circ=X-\bar{A}$

会发现第二个式子就是第一个式子的直接推论。

根据定义: $x\in\overline{X-A}\Leftrightarrow$ 对 $x$ 的每个邻域 $U$ ， $U\cap(X-A)\neq\emptyset\Leftrightarrow$ $x\notin\mathring{A}\Leftrightarrow x\in X-\mathring{A}$ 。

命题

$\mathring{A}$ 是包含在 $A$ 中所有开集的并， $\bar{A}$ 是包含 $A$ 的所有闭集的交。

命题

对 $X$ 的任意子集 $A,B$ 有

$\mathring{A}\subset A\subset\bar{A}$ .
若 $A\subset B$ ，则 $\mathring{A}\subset\mathring{B}$ ，且 $\bar{A}\subset\bar{B}$ .
$A$ 是 $X$ 中的开集 $\Leftrightarrow \mathring{A}=A$
$A$ 是 $X$ 中的闭集 $\Leftrightarrow \bar{A}=A$ .
$(\mathring(A))^\circ=\mathring{A},\bar{\bar{A}}=\bar{A}$ .
$(A\cap B)^\circ=\mathring{A}\cap\mathring{B},\overline{A\cup B}=\bar{A}\cup\bar{B}$ .

# 连续映射与同胚

# 连续映射及其基本特征

定义

设 $f:X\rightarrow Y$ 为空间 $X$ 到空间 $Y$ 的一个函数， $x_0\in X$ ，如果对 $f(x_0)\in Y$ 的任意邻域 $V$ ，总存在 $x_0$ 的一个邻域 $U$ 使得 $f(U)\subset V$ ，则称 $f$ 在点 $x_0$ 处连续。

若 $f$ 在 $X$ 的每一点连续，则称 $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 的连续映射，简称映射，当 $Y=E^1$ ，则称映射 $f:X\rightarrow E^1$ 为连续的（实值）函数。

定理

设 $f:X\rightarrow Y$ 是空间 $X$ 到空间 $Y$ 的函数，那么以下论断等价：

$f$ 是映射.
对 $Y$ 的任意开集 $V$ ， $f^{-1}(V)$ 是 $X$ 中的开集.
对 $Y$ 的任意闭集 $F$ ， $f^{-1}(F)$ 是 $X$ 中的闭集.
对任意 $A\subset X$ ， $f(\bar{A})\subset\overline{f(A)}$ .
对任意 $B\subset Y$ ， $\overline{f^{-1}(B)}\subset f^{-1}(\bar{B})$ .
对 $Y$ 的任意拓扑基的每个成员 $B$ ， $f^{-1}(B)$ 是 $X$ 的开集.
对任意 $B\subset Y$ ， $f^{-1}(\mathring{B})\subset (f^{-1}(B))^\circ$ .

定理

设 $f:X\rightarrow Y$ 是空间 $X$ 到空间 $Y$ 的给定函数，若 $f$ 在点 $x\in X$ 处连续，则对 $X$ 的每个收敛到 $x$ 的点列 $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ ，有

$\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=x\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=f(x)$

反之，若对于每个收敛到 $x$ 的点列 $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ 都有 $\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=x$ ，那么 $f$ 在点 $x$ 处连续。

# 映射举例

例

常值映射 $e:X\rightarrow Y$ ， $e(X)$ 是 $Y$ 的独点子集，则 $e$ 为映射。

例

内射 $i:A\rightarrow X$ ，其中 $A$ 是空间 $X$ 的子空间， $i$ 定义为

$i(a)=a,a\in A$

则 $i$ 为映射。特别地，当 $A=X$ 则为恒等映射 $1:X\rightarrow X$ 。

例

若 $f:X\rightarrow Y$ 和 $g:Y\rightarrow Z$ 均为映射，那么 $g\circ f:X\rightarrow Z$ 也是映射。

例

设 $f:X\rightarrow Y$ 是映射， $A$ 是 $X$ 的子空间，由

$(f|_A)(a)=f(a),a\in A$

定义的 $f|_A:A\rightarrow Y$ 也是映射，称为映射 $f$ 在 $A$ 上的限制，同时称 $f$ 为 $f|_A$ 在 $X$ 上的扩张。

例

设 $f:X\rightarrow Y$ 是映射， $B$ 是 $Y$ 的子空间，使得 $f(X)\subset B$ ，则由 $f$ 确定的函数 $f^B:X\rightarrow B$ :

$f^B(x)=f(x),x\in X$

也是映射，称为 $f$ 在 $B$ 中的诱导映射。特别，当 $B=f(X)$ 时， $f^B:X\rightarrow f(X)$ 也是映射。

粘接引理

设 $F_1,F_2,...,F_n$ 为 $X$ 的闭子空间，使得 $X=\bigcup_{i=1}^nF_i$ 。 $f_i:F_i\rightarrow Y$ 为给定映射， $i=1,2,...,n$ 且满足相容条件：

$f_i|_{F_i\cap F_j}=f_j|_{F_i\cap F_j},1\leq i,j\leq n$

则由

$f(x)=f_i(x),x\in F_i$

定义的函数 $f:X\rightarrow Y$ 是映射。我们通常把上述定义写为

$f|_{F_i}=f_i,i=1,2,...,n$

# 同胚

例

设 $S^1$ 是欧式平面（看作复平面）内的单位圆周， $X=[0,1)\in E^1$ 。定义指数函数 $p:X\rightarrow S^1$ 为

$p(x)=e^{2\pi ix},x\in X$

不能验证 $p$ 是既单又满的映射。那么我们可以把线段 $[0,1)$ 和圆周看作同样的图形吗？显然不可以，造成这两个图形差别大（一个是左闭的，一个是两头开的）的原因是 $p^{-1}:S^1\rightarrow X$ 在点 $(1,0)$ 处不连续。

定义

设 $f:X\rightarrow Y$ 是既单又满的映射，且其逆 $f^{-1}:Y\rightarrow X$ 也是映射，则 $f$ 称为 $X$ 到 $Y$ 的同胚，记作 $f:X\approx Y$ 。如果存在这样的同胚，那么我们也说 $X$ 与 $Y$ 拓扑等价或同胚等价，记作 $X\approx Y$ 。

例

$(0,1)\approx E^1$ 。我们可以定义连续函数 $f:(0,1)\rightarrow E^1$ 为 $f(t)=tan((t-\frac{1}{2})\pi),t\in(0,1)$ 。则 $f$ 是同胚映射。

例

同胚 $(0,1)\approx S^1-\{(1,0)\}$ ，其中 $S^1$ 是欧式平面空间上的单位圆。

定理

拓扑等价（同胚）是一个等价关系：

$X\approx X$
$X\approx Y\Leftrightarrow Y\approx X$
$X\approx Y,Y\approx Z\Rightarrow X\approx Z$

命题

开集、闭集、闭包、内部与点列的收敛性都是拓扑不变的。

确切地说，如果 $f:X\approx Y$ ，则 $U$ 是 $X$ 的开集，当且仅当 $f(U)$ 是 $Y$ 的开集。

如果 $f:X\rightarrow Y$ 是映射，而且 $f$ 把 $X$ 中每个开（闭）集映成 $Y$ 中的开（闭）集，则称 $f$ 为开（闭）映射。

命题

设 $f:X\rightarrow Y$ 是空间 $X$ 到空间 $Y$ 的函数，则下列彼此等价：

$f$ 是同胚
$f$ 是既单又满的开映射
$f$ 是既单又满的闭映射

最后，与同胚稍有差别的概念嵌入：

定义

如果 $f:X\rightarrow Y$ 是映射， $B=f(X)$ ，使得 $f$ 在 $B$ 中的诱导映射是同胚：

$f^B:X\approx f(X)$

则称 $f$ 为嵌入。并且当 $f$ 是嵌入时，我们常常把 $X$ 与 $f$ 的象 $f(X)$ 等同起来，从而把 $X$ 看成 $Y$ 的子空间。

命题

设 $f:X\rightarrow Y,g:Y\rightarrow X$ 均为映射，使得合成

$g\circ f=1_X:X\rightarrow X$

则 $f$ 为嵌入。

# 紧致性

# 紧致空间

定义

设 $\mathscr{D}=\{D_\alpha\}_{\alpha\in \Gamma}$ 是空间 $X$ 的一族子集， $A$ 是 $X$ 的子集，使得 $A\subset\bigcup_{\alpha\in\Gamma}D_\alpha$ ，则称 $\mathscr{D}$ 为 $A$ 在 $X$ 中的一个覆盖。

如果覆盖 $\mathscr{D}$ 中的每个成员都是开集，则我们称之为 $A$ 在 $X$ 中的一个开覆盖。若 $\Gamma$ 为有限（可数）集合，那么称 $\mathscr{D}$ 为 $A$ 在 $X$ 中的一个有限（可数）覆盖。

若 $\Lambda\subset\Gamma$ 使得 $\mathscr{D}_0=\{D_\alpha\}_{\alpha\in\Lambda}$ ，则称 $\mathscr{D}_0$ 为 $\mathscr{D}$ 的一个子覆盖，如果 $A=X$ ，则 $\mathscr{D}$ 称为 $X$ 的覆盖，省略 “在 $X$ 中” 的描述。

例

拓扑空间 $(X,\mathscr{F})$ 中所有开集的族 $\mathscr{F}$ 就是一个开覆盖。同样地， $\mathscr{F}$ 的拓扑基，所有球形邻域的集合 $\mathscr{B}$ 也是一个开覆盖。

定义

如果空间 $X$ 的任何开覆盖，都有一个有限子覆盖，确切地说，对 $X$ 的任何开覆盖 $\mathscr{V}=\{V_\alpha\}_{\alpha\in\Gamma}$ ，存在子族 $\mathscr{V}_0=\{V_{\alpha_1},...,V_{\alpha_n}\}\subset\mathscr{V}$ ，使得 $\mathscr{V}_0$ 仍是 $X$ 的覆盖，则称 $X$ 为紧致拓扑空间。

定义

设 $A$ 为空间 $X$ 的子集，如果 $A$ 作为子空间是紧致的，则称 $A$ 为 $X$ 的紧致子集（紧致子空间）。

命题

设 $A$ 是空间 $X$ 的子集，则 $A$ 是 $X$ 的紧致子集当且仅当 $A$ 在 $X$ 中的任何开覆盖都有有限子覆盖。

Heine-Borel-Lebesgue 定理

$E^1$ 的任意闭区间 $[a,b]$ 是紧致子集。

例

$E^1$ 本身并不是紧致的，事实上

$\mathscr{U}=\{(-n,n)|n=1,2,...\}$

形成了 $E^1$ 的一个开覆盖，但是 $\mathscr{U}$ 的任意有限子族 $\{(-n_1,n_1),(-n_2,n_2),...,(-n_k,n_k)\}$ 的并并不是 $E^1$ 的覆盖，即 $\mathscr{U}$ 没有有限子覆盖。

# 紧致空间的性质

命题

紧致空间的连续映射象仍是紧致的。特别，紧致性是拓扑（同胚）不变的。

命题

紧致空间的闭子集总是紧致的。

证明：设 $C$ 是紧致空间 $X$ 的闭子集， $\mathscr{U}$ 是 $C$ 在 $X$ 中的开覆盖，那么 $\mathscr{U}\cup\{X-C\}$ 就成了 $X$ 的一个开覆盖。

因为 $X$ 是紧致的，故 $\mathscr{U}\cup\{X-C\}$ 存在一个有限子覆盖。

然后可考虑这个有限子覆盖，去掉 $X-C$ 后就得到了 $\mathscr{U}$ 的一个有限子覆盖。

Bolzano-Weierstrass 性质

紧致空间的无穷子集必有聚点。

证明：设 $X$ 为紧致空间，我们证明没有聚点的任意子集 $A$ 必为有限集。因 $\acute{A}=\emptyset$ ， $A$ 是 $X$ 的闭集，由上个命题有 $A$ 是紧致的。

对每一个点 $a\in A$ ，存在 $a$ 的一个开邻域 $U_a$ ，使得 $U_a\cap A=\{a\}$ （因为 $a$ 不是 $A$ 的聚点）

于是就会有开覆盖 $\{U_a\}_{a\in A}$ 。

又因为 $A$ 是紧致的，故根据定义，其任意一个开覆盖都会有一个有限子覆盖 $\{U_a\}_{a\in A'}$ 。

而每个 $U_a$ 中只包含 $A$ 中的一个点，因为子覆盖是有限的，即 $A$ 也是有限的。

# Hausdorff 空间中的紧致性

定义

若空间的任意两个不同点有不相交的邻域，则称之为 Hausdorff 空间，也说它满足 $T_2$ 公理。

事实上，任意度量空间都是 Hausdorff 空间。

命题

设集合 $A$ 是 Hasudorff 空间 $X$ 的紧致子集， $x\in X-A$ ，则 $x$ 与 $A$ 有互不相交的邻域。从而 Hausdorff 空间的紧致子集总之闭集。

更一般地，Hausdorff 空间中任意两个不相交的紧致子集有不相交的邻域。

命题

紧致 Hausdorff 空间中的子集是紧致的，当且仅当它是闭的。

定义

若空间 $X$ 的任意两个不相交的闭集有不相交的邻域，则称 $X$ 是正规空间。

定理

紧致 Hausdorff 空间是正规空间。

命题

空间 $X$ 是正规的，当且仅当 $X$ 中的每个闭集 $F$ 的任意邻域包含 $F$ 的一个邻域的闭包。

定理

从紧致空间 $X$ 到 Hausdorff 空间 $Y$ 既单又满的映射是同胚。

# 度量空间的紧致性

定义

设 $A$ 是度量空间 $(X,\rho)$ 的子集，如果存在正数 $m$ ，对任意 $x,y\in A$ ，使得 $\rho(x,y)\leq m$ 成立，则称 $A$ 是有界的，否则称 $A$ 是无界的。

空集是约定有界的，对于有界子集 $A$ ，我们定义 $A$ 的直径是非负实数

$d(A)=\begin{cases}0&A=\emptyset\\ sup_{x,y\in A}|\rho(x,y)|&A\neq\emptyset \end{cases}$

命题

度量空间 $(X,\rho)$ 的紧致子集 $A$ 总是有界闭集。

推论

紧致空间 $X$ 到 $E^1$ 的任何连续函数均有界，而且能在 $X$ 的点达到最大值与最小值。

Lebesgue 引理

设 $\mathscr{V}=\{V_\alpha\}_{\alpha\in\Gamma}$ 是紧致度量空间 $(X,\rho)$ 的开覆盖，则存在正数 $\lambda$ （称为开覆盖 $\mathscr{V}$ 的 Lebesgue 数），使得 $X$ 中的直径小于 $\lambda$ 的任何子集 $A$ 必包含于 $\mathscr{V}$ 的某个成员 $V_\alpha$ 中。

定理

从紧致度量空间 $(X,\rho)$ 到度量空间 $(X',\rho')$ 的连续映射 $f$ 总是一致连续的，即对于任意正数 $\varepsilon$ ，存在正数 $\delta$ 使得 $\rho(x,y)<\delta\Rightarrow\rho'(f(x),f(y))<\varepsilon$ 。

# 连通性

# 连通空间

定义

设 $A$ 与 $B$ 是空间 $X$ 的非空子集，且 $(\bar{A}\cap B)\cup(A\cap\bar{B})=\empty$ ，则称 $A$ 与 $B$ 为 $X$ 的一对分离子集。如果 $X$ 不是一对分离子集的并，则称 $X$ 为连通的，否则称 $X$ 为非连通的。

例

$E^1$ 中的区间 $(0,1),(1,2)$ 就是一对分离区间。因为 $\overline{(0,1)}=[0,1]$ ，注意这里是在求闭包加入聚点而不是求补。而 $(0,1),[1,2)$ 就不是分离子集。

例

实直线 $E^1=(-\infty,\infty)$ 是连通空间。

定理

设 $X$ 是空间，则下列陈述彼此等价

$X$ 是连通的
$X$ 不是两个不相交非空开集的并
$X$ 不是两个不相交非空闭集的并
$X$ 中只有 $X$ 与 $\emptyset$ 既开又闭
对任意连续函数f:X\rightarrow E^1,f(X)\neq\

# 子集的连通性

定义

空间 $X$ 的子集 $A$ 称为 $X$ 的连通子集，如果 $A$ 作为 $X$ 的子集是连通的。

命题

连通空间的连续映射象是连通集。

连通性是同胚不变的，即若 $X\approx Y$ ，则 $X$ 连通当且仅当 $Y$ 连通。

设 $Y$ 为空间 $X$ 的子空间， $Z\subset Y$ ，则 $Z$ 是 $Y$ 的连通子集当且仅当 $Z$ 是 $X$ 的连通子集。

引理：

设 $Y$ 为 $X$ 的非空连通子集， $A$ 与 $B$ 是 $X$ 中的一对分离子集，使得 $Y\subset A\cup B$ 。则 $Y\subset A$ 或 $Y\subset B$ 。

命题

在空间 $X$ 中，设 $Y$ 是连通子集，且 $Y\subset Y_1\subset\bar{Y}$ ，则 $Y_1$ 也是连通的。特别地，若 $Y$ 连通，则 $\bar{Y}$ 也是连通的。

例

实数轴上任意一个区间都是连通的。事实上。任意一个开区间还与 $E^1$ 同胚。

命题

设 $Y$ 是空间 $X$ 的连通子集 $\{Y_\alpha\}_{\alpha\in\Gamma}$ 是 $X$ 的一族连通子集，使得 $Y_\alpha\cap Y\neq\emptyset$ ，对一切 $\alpha\in\Gamma$ 成立。则 $Y\cup(\bigcup_{\alpha\in\Gamma}Y_\alpha)$ 仍是连通的。

定义

若 $A$ 是空间 $X$ 的连通子集，而且又不是别的连通集的真子集，则称 $A$ 为 $X$ 的极大连通子集或连通分支。

命题

$X$ 的连通分支总是闭集。不同的连通分支彼此分离。

# 道路连通性

定义

设 $f:I\rightarrow X$ 是映射， $f(i)=x_i,i=0,1$ 。则称 $f$ 为 $X$ 中连接 $x_0$ 和 $x_1$ 的道路。 $x_0,x_1$ 分别称为道路的起点和终点。

如果 $X$ 中任意两点都有 $X$ 中道路连接，则称 $X$ 为道路连通的。

而映射 $\bar{f}(t)=f(1-t)$ 则被称为 $f$ 的逆道路。

例

欧式空间中的子集 $X$ 称为凸集如果对任意 $x,y\in X$ 由点 $x$ 与 $y$ 确定的闭线段

$[x,y]=\{(1-t)x+ty|t\in I\}$

整个包含于 $X$ 。

现在，我们证明凸集 $X$ 是道路连通的。定义 $f(t)=(1-t)x+ty$ 易见 $f(I)\subset X$ ，并且 $f$ 是连续的，从而 $f$ 是道路。

命题

设 $\sigma,\tau$ 是 $X$ 中的道路，使得

$\sigma(1)=y=\tau(0)$

则由下式

$(\sigma*\tau)(t)=\begin{cases}\sigma(2t)&0\leq t\leq\frac{1}{2}\\ \tau(2t-1)&\frac{1}{2}\leq t\leq 1 \end{cases}$

定义的 $\sigma*\tau:I\rightarrow X$ 是从 $\sigma(0)=x$ 到 $\sigma(1)=z$ 的道路。称为 $\sigma$ 和 $\tau$ 的积。

命题

道路连接空间的连续映射象仍是道路连通的。特别地，道路连通性是拓扑不变的。

定义

若 $A$ 是空间 $X$ 的道路连通子集，又不是别的道路连通子集的真子集，则称 $A$ 为 $X$ 的极大道路连通子集或道路连通分支。

命题

空间的每个非空道路连通子集恰包含于一个道路的连通分支中。每个空间都是互不相交的道路连通分支的并。

例

考虑这样一个点集 $X=Y\cup Z$ :

$Y=\{(0,t)\in E^2|-1\leq t\leq 1\}\\ Z=\{(x,sin\frac{\pi}{x})\in E^2|0<x\leq 1\}$

它是连通的，但不是道路连通的。

$E^1$ 与 $E^2$ 是不同胚的。

# 乘积空间

# 乘积空间与乘积拓扑

命题

$E^n$ 的子集族

$\mathscr{B}=\{U_1\times U_2\times U_3\times...\times U_n\}$

其中 $U_i$ 是 $E^1$ 的开集。那么该子集族是 $E^n$ 的一个拓扑基。

这个想以下，本质上就是 $n$ 维欧氏空间的坐标是 $n$ 个一维空间的直积。

定义

对给定的 $n$ 个拓扑空间 $(X_i,\mathscr{F}_i)$ ，选取点集的直积 $X=X_1\times...\times X_n$ 的子集族：

$\mathscr{B}=\{U_1\times...\times U_n|U_i\in\mathscr{F}_i\}$

是集合 $X$ 的一个拓扑基，被称为乘积拓扑。 $X_i$ 被称为拓扑积 $X$ 的第 i 个坐标（因子）空间。

例

圆周 $S^1$ 与单位区间 $I$ 的拓扑积是以 $S^1$ 为准线， $I$ 为母线的圆柱侧面，如下图：

然后可以考虑 $V$ 是 $I$ 上的一个开集， $U$ 是 $S^1$ 上的一个开集，那么 $U\times V$ 就是拓扑积 $S^1\times I$ 上的一个开集。

例

$S^1\times\{0\}$ 和 $S^1\times\{1\}$ 分别是上个例子中圆柱的上底面和下底面。

例

环面是两个圆周 $S^1$ 的拓扑积：

整个环面上的点都可以用两个实数坐标确定。实际上，作为欧氏空间 $E^3$ 的子空间，它与 $E^1\times E^1$ 是同胚的。

# 积空间的连续性

首先，我们描述坐标空间与积空间之间的映射，令

$p_1:X\times Y\rightarrow X,p_2:X\times Y\rightarrow Y$

分别表示拓扑积 $X\times Y$ 到第一个坐标空间 $X$ 和第二个坐标空间 $Y$ 的投影。设 $x_0,y_0$ 分别是 $X,Y$ 中的给定点，还可以定义

$i_1(x)=(x,y_0),i_2(y)=(x_0,y)$

命题

投影 $p_1$ 和 $p_2$ 为满的开映射。

$i_1,i_2$ 均为映射，且分别把 $X$ 和 $Y$ 嵌入 $X\times Y$ 为子空间 $X\times\{y_0\}$ 与 $\{x_0\}\times Y$ 。

例如实数轴 $E^1$ 可以嵌入欧式平面 $E^2$ 成为平行于坐标轴的直线。

下面这个命题讨论了任意空间 $Z$ 到拓扑积空间 $X\times Y$ 的函数 $f:Z\rightarrow X\times Y$ 在什么情况下连续的问题，它使得我们把问题简化为验证每个坐标函数是否连续。

命题

函数 $f:Z\rightarrow X\times Y$ 连续，当且仅当坐标函数

$p_1\circ f:Z\rightarrow X,p_2\circ f:Z\rightarrow Y$

均连续。

然而，如果有函数是从积空间到另一个空间 $f:X\times Y\rightarrow Z$ ，而 $f\circ i_1$ 和 $f\circ i_2$ 在 $x_0,y_0$ 处均连续，并不能推出 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续。反例：

$f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2}&(x,y)\neq 0\\0&(x,y)=0\end{cases}$

在 $(0,0)$ 处有 $(f\circ i_1)=f(x,0),(f\circ i_2)=f(0,y)$ 都是单独分别连续的，但是 $f$ 在 $(0,0)$ 处并不连续。因为可以沿着 $y=kx$ 这条线逼近原点，此时 $f(x,kx)\equiv \frac{k}{1+k^2}$ 不为 0。

命题

设 $f_i:X_i\rightarrow Y_i$ 为映射，则可以定义

$(f_1\times f_2)(x_1,x_2)=(f_1(x_1),f_2(x_2))$

则 $f_1\times f_2:X_1\times X_2\rightarrow Y_1\times Y_2$ 也是映射，称为 $f_1$ 与 $f_2$ 的拓扑积。由此可得

$X_1\approx Y_1,X_2\approx Y_2\Rightarrow X_1\times X_2\approx Y_1\times Y_2$

# 有限可积性质

定义

如果有限个拓扑空间 $X_1,...,X_n$ 具有性质 $P$ ，能够推出积空间 $X_1\times...\times X_n$ 也有性质 $P$ ，那么称 $P$ 为有限可积性质。

命题

$X\times Y$ 是 Hausdorff 空间，当且仅当 $X,Y$ 均为 Hausdorff 空间。

$X\times Y$ 是连通空间，当且仅当 $X,Y$ 均为连通空间。

$X\times Y$ 是道路连通空间，当且仅当 $X,Y$ 均为道路连通空间。

$X\times Y$ 是紧致的，当且仅当 $X,Y$ 均为紧致的。

命题

设 $a\in X,B$ 是 $Y$ 的紧致子集， $W$ 是 $\{a\}\times B$ 在 $X\times Y$ 中的邻域。则存在 $X$ 与 $Y$ 的开集 $U,V$ 使得 $\{a\}\times B\subset U\times V\subset W$ 。

最后，我们指出 $E^n$ 内有界闭集与紧致性的等价性：

$E^n$ 的子集是紧致的，当且仅当它是有界闭集。

# 粘合空间

# 粘合拓扑

在这里可以先考虑一个例子，这个例子很好地说明了同胚空间的用处。考虑下图所示平面双摆

我们可以用 $(\varphi,\psi)$ 唯一地确定摆锤的一个位置，而且特别地， $(\varphi+2n\pi,\psi+2m\pi)$ 和 $(\varphi,\psi)$ 对应同一个位置。因此我们考虑用一个边长为 $2\pi$ 的正方形，同时粘合两组对边组成的一个环面来描述摆锤的位置。

而同胚的概念，就可以形象地理解为，相近的摆锤的位置对应的点，在环面上也是相近的。

定义

设 $(X,\mathscr{F})$ 为拓扑空间， $\sim$ 是集合 $X$ 中的一个等价关系， $p:X\rightarrow X/\sim$ 为 $X$ 到商集 $X/\sim$ 的自然投射，那么定义商集 $X/\sim$ 的子集族：

$\mathscr{H}\sim=\{W\subset X/\sim|p^{-1}(W)\in\mathscr{F}\}$

则 $\mathscr{H}\sim$ 是商集 $X/\sim$ 上的拓扑，称为 $\mathscr{F}$ 关于等价关系 $\sim$ 的粘合拓扑（商拓扑）， $(X/\sim,\mathscr{H}\sim)$ 称为 $(X,\mathscr{F})$ 关于等价关系 $\sim$ 的粘合空间（商空间）。

自然映射 $p:X\rightarrow X/\sim$ 是满映射，称为粘合映射。

更一般地，如果 $p:X\rightarrow Y$ 是满映射，使得 $Y$ 的子集 $W$ 是开集当且仅当 $p^{-1}(W)$ 是 $X$ 的开集，则我们把这样的 $p$ 称为粘合映射， $Y$ 的拓扑称为 $p$ 在 $Y$ 上诱导的粘合拓扑。

命题

设 $p:X\rightarrow Y$ 为粘合映射， $f:X\rightarrow Z$ 为映射，使得对任意 $y\in Y$ ， $f[p^{-1}(y)]$ 是 $Z$ 的独点集，即 $f\circ p^{-1}$ 为函数，则函数 $f\circ p^{-1}:Y\rightarrow Z$ 是连续映射，且 $g\circ p=f$ ，这可以标识为以下交换图：

命题

设 $f:X\rightarrow Y$ 为粘合映射， $K$ 为紧致的 Hausdorff 空间，则 $f$ 与恒等映射 $1_K$ 的拓扑积 $f\times 1_K:X\times K\rightarrow Y\times K$ 为粘合映射。

# 例子

例

设 $A$ 为空间 $X$ 的子集，定义 $X$ 上的等价关系为， $A$ 中的点相互等价， $X-A$ 中的点互不等价，即只跟自己等价。如此得到的空间 $X/\sim$ 记作 $X/A$ ，形象化地理解为 “把 $A$ 中的点捏成一个点”。

譬如 $I/\{0,1\}$ 可以看作把单位区间两端捏在一起而成，并且 $I/\{0,1\}\approx S^1$ 。一般地，有

$I^n/\dot{I}^n\approx B^n/S^{n-1}\approx S^n$

例（莫比乌斯带）

从 $E^2$ 内的长方形 $X=[0,8]\times[0,1]$ 开始，定义 $X$ 中的等价关系为： $(0,y)\sim(8,1-y),y\in I$ ，此外每个点与自己等价。所得的粘合空间就为莫比乌斯带。

例（克莱因瓶）

从 $E^2$ 内的正方形 $X=I^2$ 开始，定义 $X$ 中的等价关系为 $(0,y)\sim(1,y),y\in I;(x,0)\sim(1-x,1),x\in I$ ，此外每个点都与自己等价。所得空间为克莱因瓶。相比于环面，在把正方形卷成圆柱后，克莱因瓶是把上下底面方向相反地粘在一起，导致必然会有曲面相交。

# 基本群

# 映射的同伦与空间的同伦型

# 映射的同伦

定义

设 $f_0,f_1:X\rightarrow Y$ 是两个映射，如果存在连续映射 $H:X\times I\rightarrow Y$ 使得

$H(x,t)=f_t(x),x\in X,t=0,1$

就说 $f_0$ 同伦于 $f_1$ ，记作 $f_0\stackrel{H}{\simeq}f_1:X\rightarrow Y$ ，或简记为 $f_0\stackrel{H}{\simeq}f_1$ ，甚至记为 $f_0\simeq f_1$ 。其中 $H$ 称为 $f_0$ 到 $f_1$ 的一个同伦或伦移。

理解同伦关系可以把 $t$ 理解为时间，把映射理解为空间路径。即可以在一定时间内，从形状 1，连续地变化为形状 2。

例

设 $C$ 为欧氏空间内的一个凸集， $f,g$ 是任意空间到 $C$ 的映射，定义 $H:X\times I\rightarrow C$ 为

$H(x,t)=(1-t)f(x)+tg(x)$

则 $H$ 是 $f$ 到 $g$ 的一个同伦。特别地，若 $g$ 是常值映射，则 $f$ 同伦于常值映射，被称为是零伦的，写作 $f\simeq 0$ 。

定理

同伦关系 $\simeq$ 是 $Y^X$ 上的等价关系。

证明：自反性，可以构造 $H(x,t)\equiv f(x)$ ，则 $f\stackrel{H}{\simeq}f$ 。

对称性，可构造同伦的逆 $\bar{H}(x,t)=H(x,1-t)$ ，即时间倒流的形变。

传递性，可以先进行形变 1，再进行形变 2，即：

$H(x,t)=\begin{cases}H_1(x,2t)&0\leq t\leq\frac{1}{2}\\ H_2(x,2t-1)&\frac{1}{2}\leq t\leq 1 \end{cases}$

考虑粘接引理，它是一个连续映射。故证毕。

引理

若 $f_0\simeq f_1:X\rightarrow Y,g_0\simeq g_1:Y\rightarrow Z$ 则 $g_0\circ f_0\simeq g_1\circ f_1:X\rightarrow Z$ 。

# 空间的同伦型

定义

若有映射 $f:X\rightarrow Y$ 与 $g:Y\rightarrow X$ 使得 $g\circ f=1_X,f\circ y=1_Y$ ，则称映射 $f$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的同伦等价， $g$ 称为 $f$ 的同伦逆，并且也说 $X$ 和 $Y$ 是同伦等价的，或说 $X$ 与 $Y$ 有相同的同伦型，记作 $f:X\simeq Y$ 。

在同伦等价映射下保持不变的性质被称为同伦不变性质，

定理

同伦关系 $\simeq$ 是拓扑空间上的等价关系。

例

欧式空间的凸集与独点空间有相同的同伦型。事实上，若 $X$ 是凸集， $a\in X$ ，令 $i:\{a\}\hookrightarrow X$ 是内射， $r:X\rightarrow\{a\}$ 是常值映射，则有 $r\circ i = 1_{\{a\}}$ 。

又由于任意空间到欧氏空间凸集的映射都是同伦的（见前例），故有 $r\circ i\simeq 1_X$ 。

例

对 $n\geq 1$ ， $E^n-\{O\}\simeq S^{n-1}$ 。可以定义

$i:S^{n-1}\rightarrow E^n-\{O\},i(x)=x\\ r:E^n-\{O\}\rightarrow S^{n-1},r(x)=\frac{x}{||x||}\\$

于是有 $r\circ i=1_{S^{n-1}}$ 。那么考虑证明 $i\circ r\simeq 1_{E^n-\{O\}}$ ：

$H:(E^n-\{O\})\times I\rightarrow E^n-\{O\}\\ H(x,t)=tx+(1-t)\frac{x}{||x||}$

在二维情况下，可以理解为运动趋势：

这里也可以理解为什么要挖去原点。因为尽管可以构造 $H(0,t)$ 向某个方向移动，但一定会导致在 $x=0$ 处不是连续的。

定义

设 $A$ 是 $X$ 的子空间， $i:A\hookrightarrow X$ 表示内射，如果存在映射 $r:X\rightarrow A$ ，使得 $r\circ i=1_A$ ，则 $r$ 称为 $X$ 到 $A$ 的保核收缩（映射）， $A$ 称为 $X$ 的收缩核。

如果除此之外还有同伦 $1_X\stackrel{H}{\simeq}i\circ r$ ，则 $H$ 称为 $X$ 到 $A$ 的一个形变收缩， $A$ 称为 $X$ 的形变收缩核。

假如同伦还满足条件 $\forall a\in A,t\in I,H(a,t)=a$ ，则称 $H$ 为 $X$ 到 $A$ 的一个强形变收缩， $A$ 称为 $X$ 的强形变收缩核。

# 零伦与可缩空间

定义

与独点空间同伦型相同的空间称为可缩的。

命题

考虑一种锥形。对任意空间 $X$ ，粘合空间 $X\times I/X\times\{1\}$ 被称为 $X$ 上的锥形，记作 $CX$ 。对应 $x\rightarrow [x,0]$ 把 $X$ 嵌成锥形 $CX$ 的闭子空间，称为 $CX$ 的底， $X\times\{1\}$ 的粘合象称为 $CX$ 的顶点。

这样的锥形都是可缩的。

同时， $f\simeq 0$ 当且仅当 $f$ 可以扩张到锥形上。

命题

以下短语等价

$X$ 可缩
$1_X\simeq 0$
对任意空间 $Y$ 和映射 $f:X\rightarrow Y,f\simeq 0$
对任意空间 $Z$ 和映射 $g:Z\rightarrow X,g\simeq 0$
$X$ 是锥形 $CX$ 的收缩核

# 相对同伦

设 $A$ 是空间 $X$ 的子集，则有序偶 $(X,A)$ 称为空间偶。又若 $f:X\rightarrow Y$ 把子集 $A$ 映射到 $Y$ 的子集 $B$ ，则我们把它记为

$f:(X,A)\rightarrow(Y,B)$

称为空间偶到空间偶的映射。若 $f:(X,A)\rightarrow (Y,B),g:(Y,B)\rightarrow(X,A)$ 均为映射，使得 $g\circ f=1_X,f\circ g=1_Y$ ，则称 $f$ 为空间偶的同胚，记作

$f:(X,A)\approx (Y,B)$

若 $F:X\times I\rightarrow Y$ 是同伦，使得 $F(A\times I)\subset B$ ，则记作 $F:(X\times I,A\times I)\rightarrow(Y,B)$ 或 $F:(X,A)\times I\rightarrow (Y,B)$ ，称为空间偶 $(X,A)$ 到 $(Y,B)$ 间的同伦。

又若

$F(X,0)=f_0(x),F(x,1)=f_1(x)$

则称 $F$ 是偶的映射 $f_0$ 到 $f_1$ 的同伦，记作

$f_0\stackrel{F}{\simeq}f_1:(X,A)\rightarrow(Y,B)$

更进一步，如果

$\forall a\in A,t\in I,F(a,t)=f_0(a)=f_1(a)$

则称为相对于 $A$ ， $f_0$ 同伦于 $f_1$ 记作 $f_0\stackrel{F}{\simeq}f_1:X\rightarrow Y\;rel\;A$ 。

# 基本群的定义

# 道路类的积

首先，显然地，道路的积并不满足结合律，因为它并不是三等分，而是 1/4，1/4，1/2 这样合成的三条路。

为了解决这个问题，用 $rel\;\dot{I}$ 的同伦类来代替道路：

定义

设 $f_0,f_1:I\rightarrow X$ 是两条道路，使得 $f_0|_i=f_1|_i$ 即 $f_0(0)=f_1(0),f_0(1)=f_1(1)$ 。如果 $f_0\simeq f_1:I\rightarrow X\;rel\;\dot{I}$ ，则称 $f_0$ 与 $f_1$ 是等价的道路。记作 $f_0\stackrel{.}{\simeq}f_1$ ，仍用 $[f_0]$ 表示 $f_0$ 所在的等价类，称为 $f_0$ 的道路类。

根据定义， $f_0\stackrel{.}{\simeq}f_1$ 意味着有一个映射 $F:I\times I\rightarrow X$ 使得

$F(t,0)=f_0(t),F(t,1)=f_1(t)\\ F(0,s)=f_0(0),F(1,s)=f_0(1)$

直观意义如图

可以看作 $F$ 把一个单位正方形，连续地映射到了一个纺锤形。

例

设 $X$ 是 $E^n$ 中的凸集， $x_0,x_1\in X,\alpha,\beta$ 是 $X$ 中从 $x_0$ 到 $x_1$ 的两条道路，则 $\alpha\stackrel{.}{\simeq}\beta$ 。定义的 $H:I\times I\rightarrow X$ 为

$H(t,s)=(1-s)\alpha(t)+s\beta(t)$

引理

若 $f_0\stackrel{.}{\simeq}f_1,g_0\stackrel{.}{\simeq}g_1,f_0(1)=g_0(0)$