抽到的 SSR 暑课
# 拓扑空间
# 拓扑空间
# 度量空间
我们用ρ(x,y) 表示点x 到y 的距离,当谈到点列{xn}n∈N 以a 为极限时,都意味着limn→∞ρ(xn,a)=0。这里定义的距离的本质上由下列四条基本性质确定:
- ρ(x,y)≥0
- ρ(x,y)=0⇔x=y
- ρ(x,y)=ρ(y,x)
- ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z)
我们把这四条性质称为度量公理,其中第四条称为三角不等式。
定义
设X 为一非空几何,ρ:X×X→R 为一函数,使得对X 的任意点总满足度量公理,则ρ 称为X 上的一个度量,偶(X,ρ) 称为以ρ 为度量的度量空间。若x,y∈X,则ρ(x,y) 称为x,y 间的距离。
例:实数空间的通常度量E1=(R,ρ):
ρ(x,y)=∣x−y∣x,y∈R
# 度量空间的开集
定义
设(X,ρ) 为度量空间,x∈X,ε 为一正数,则称X 的子集
B(x,ε)={y∈X∣ρ(y,x)<ε}
为以x 为中心,ε 为半径的球形邻域,简称x 的ε− 邻域。
命题
设B 为度量空间(X,ρ) 的所有球形邻域组成的族,则
- X=⋃B∈BB.
- 若B1,B2∈B,x∈B1∩B2,则存在x 的一个球形邻域Bx,使得x∈Bx⊂B1∩B2.
- 若B∈B,x∈B,则存在x 的球形邻域Bx 使得x∈Bx⊂B.
证明,第一条因为所有的点x 都属于它自己的球形邻域。第二个画画图能画出来可以取ε=min{ε1−ρ(x,x1),ε2−ρ(x,x2)}。第三条也很简单。
定义
度量空间(X,ρ) 的子集A,如果它是若干(有限或无限)个球形邻域的并,即存在子族B0⊂B,使得A=⋃B∈B0B,则A 称为开集。
根据定义,每个球形邻域自己也是开集。
定理
设F 为度量空间(X,ρ) 的全体开集组成的族,则F 满足下列开集公理:
- X∈F.
- ∅∈F.
- O1,O2∈F⇒O1∩O2∈F.
- 对任意子族F0⊂F, ⋃O∈F0O∈F.
# 拓扑空间
定义
设X 是集合,F 是X 的一个子集族,其成员满足开集公理,则称F 为集合X 上的一个拓扑,F 称为X 的开集。集合X 与它的一个拓扑F 组成的偶(X,F) 称为拓扑空间,简称空间。X 的点、子集、开集与拓扑仍分别称为空间(X,F) 的点、子集、开集与拓扑。
例
任何度量空间都是拓扑空间,F 就是全体开集组成的族,被称为度量拓扑。因此n 维欧氏空间En 以及 Hilbert 空间Eω 都是拓扑空间。
例
设X=∅,令F={X,∅},F′=2X 为X 的幂集,则不难验证(X,F) 和(X,F′) 分别称为集合X 上的平凡拓扑与离散拓扑。
例
设X={a,b,c},令
F={∅,{a},{a,b},{a,c},{a,b,c}}
不难验证F 是X 的一个拓扑,因此(X,F) 是拓扑空间。
# 拓扑基
我们已经看到,度量空间的球形邻域族B 是它的度量拓扑F 的子族,而且每一开集可以由B 的成员通过并的运算得到。这与向量空间中的向量可以由它的基组成类似。因此我们把B 称为F 的基。
定义
设集合X 的一个子集族B={Bα}α∈Γ 满足下列两条性质:
- X=⋃α∈Γ.
- 若α,β∈Γ,x∈Bα∩Bβ, 则存在γ∈Γ 使得x∈Bγ⊂Bα∩Bβ.
则称B 为X 的一个拓扑基。
命题
设B 是集合X 的拓扑基,则X 的子集A 是关于B 的开集,当且仅当对每一点a∈A 存在Ba∈B,使得a∈Ba⊂A。
定理
设B 是集合X 的拓扑基,则关于B 的开集的全体F 是X 的一个拓扑,而且B⊂F。特别,如果B 本身是个拓扑,则B=F。
命题
设(X,F) 是拓扑空间,如果X 的一个子集族B⊂F,使得每个U∈F 都是B 中成员的并,则B 是(X,F) 的拓扑基。特别,F 是(X,F) 的拓扑基。
例
设欧式空间En 的子集族:B1={B(x,ε)∣x 的坐标是有理数,ε 是正有理数}。则B1 是En 的一个拓扑基。
# 关于子集的基本概念
# 闭集
定义
如果X−F 是X 的开集,则F 称为X 的闭集。
定理
设C 为空间X 的全体闭集,则它满足闭集公理:
- ∅∈C.
- X∈C.
- C1,C2∈C⇒C1∪C2∈C.
- 对任意子族C0⊂C,⋂C∈C0C∈C.
换言之,对集合X 上给定的子集族C,如果它满足闭集公理,则
F={X−C∣C∈C}
就成为X 上的一个拓扑。
# 邻域、内部与闭包
定义
点x∈A 称为A 在X 中的一个内点,如果存在开集U 使得x∈U⊂A. 这时我们还说A 是x 在X 中的一个邻域。若A 本身是开集,就说A 是x 在X 中的开邻域。 类似地,A 称为B 在X 中的一个邻域,如果存在开集U 使得B⊂U⊂A。A 在X 中的内点的全体称为A 在X 的内部,记作A˚。当A 是两个以上子集运算的结果时,我们记做(A)∘。
点x 与子集A 的位置关系除了上述的内点之外,还有集中重要的位置关系值得注意。
如果点x 在X 中的每个邻域U 包含A−{x} 的点,即U∩(A−{x})=∅,则称x 为A 在X 中的一个聚点,当然内点也可能是聚点。A 在X 中的全体聚点称为A 的导集,记为Aˊ。我们还把A−Aˊ 的点称为A 在X 中的孤立点。子集A∪Aˊ 称为A 在X 中的闭包,记作Aˉ。
于是,x∈Aˉ 当且仅当对x 的每个邻域U 都有U∩A=∅。
此外,如果点x 在X 中的每个邻域既含A 的点,又含X−A 的点,则称x 为A 在X 中的一个边界点。A 在X 中的全体边界点称为A 在X 中的边界,记为A˙。
定义
X 的点列{xn}n∈N 称为收敛到点a∈X,如果对a 在X 中的任意邻域U,存在正整数m,使得n>m 时,有xn∈U。这时也说a 是点列{xn}n∈N 的极限(点),记作limn→∞xn=a。如果(X,ρ) 是度量空间,则不难看出limn→∞xn=a 当且仅当limn→∞ρ(xn,a)=0。
命题
X−A˚=X−A,(X−A)∘=X−Aˉ
会发现第二个式子就是第一个式子的直接推论。
根据定义: x∈X−A⇔ 对x 的每个邻域U,U∩(X−A)=∅⇔x∈/A˚⇔x∈X−A˚。
命题
A˚ 是包含在A 中所有开集的并,Aˉ 是包含A 的所有闭集的交。
命题
对X 的任意子集A,B 有
- A˚⊂A⊂Aˉ.
- 若A⊂B,则A˚⊂B˚,且Aˉ⊂Bˉ.
- A 是X 中的开集⇔A˚=A
- A 是X 中的闭集⇔Aˉ=A.
- ((˚A))∘=A˚,Aˉˉ=Aˉ.
- (A∩B)∘=A˚∩B˚,A∪B=Aˉ∪Bˉ.
# 连续映射与同胚
# 连续映射及其基本特征
定义
设f:X→Y 为空间X 到空间Y 的一个函数,x0∈X,如果对f(x0)∈Y 的任意邻域V,总存在x0 的一个邻域U 使得f(U)⊂V,则称f 在点x0 处连续。
若f 在X 的每一点连续,则称f 为X 到Y 的连续映射,简称映射,当Y=E1,则称映射f:X→E1 为连续的(实值)函数。
定理
设f:X→Y 是空间X 到空间Y 的函数,那么以下论断等价:
- f 是映射.
- 对Y 的任意开集V,f−1(V) 是X 中的开集.
- 对Y 的任意闭集F,f−1(F) 是X 中的闭集.
- 对任意A⊂X,f(Aˉ)⊂f(A).
- 对任意B⊂Y,f−1(B)⊂f−1(Bˉ).
- 对Y 的任意拓扑基的每个成员B,f−1(B) 是X 的开集.
- 对任意B⊂Y,f−1(B˚)⊂(f−1(B))∘.
定理
设f:X→Y 是空间X 到空间Y 的给定函数,若f 在点x∈X 处连续,则对X 的每个收敛到x 的点列{xn}n∈N,有
n→∞limxn=x⇒n→∞limf(xn)=f(x)
反之,若对于每个收敛到x 的点列{xn}n∈N 都有limn→∞xn=x,那么f 在点x 处连续。
# 映射举例
例
常值映射e:X→Y,e(X) 是Y 的独点子集,则e 为映射。
例
内射i:A→X,其中A 是空间X 的子空间,i 定义为
i(a)=a,a∈A
则i 为映射。特别地,当A=X 则为恒等映射1:X→X。
例
若f:X→Y 和g:Y→Z 均为映射,那么g∘f:X→Z 也是映射。
例
设f:X→Y 是映射,A 是X 的子空间,由
(f∣A)(a)=f(a),a∈A
定义的f∣A:A→Y 也是映射,称为映射f 在A 上的限制,同时称f 为f∣A 在X 上的扩张。
例
设f:X→Y 是映射,B 是Y 的子空间,使得f(X)⊂B,则由f 确定的函数fB:X→B:
fB(x)=f(x),x∈X
也是映射,称为f 在B 中的诱导映射。特别,当B=f(X) 时,fB:X→f(X) 也是映射。
粘接引理
设F1,F2,...,Fn 为X 的闭子空间,使得X=⋃i=1nFi。fi:Fi→Y 为给定映射,i=1,2,...,n 且满足相容条件:
fi∣Fi∩Fj=fj∣Fi∩Fj,1≤i,j≤n
则由
f(x)=fi(x),x∈Fi
定义的函数f:X→Y 是映射。我们通常把上述定义写为
f∣Fi=fi,i=1,2,...,n
# 同胚
例
设S1 是欧式平面(看作复平面)内的单位圆周,X=[0,1)∈E1。定义指数函数p:X→S1 为
p(x)=e2πix,x∈X
不能验证p 是既单又满的映射。那么我们可以把线段[0,1) 和圆周看作同样的图形吗?显然不可以,造成这两个图形差别大(一个是左闭的,一个是两头开的)的原因是p−1:S1→X 在点(1,0) 处不连续。
定义
设f:X→Y 是既单又满的映射,且其逆f−1:Y→X 也是映射,则f 称为X 到Y 的同胚,记作f:X≈Y。如果存在这样的同胚,那么我们也说X 与Y 拓扑等价或同胚等价,记作X≈Y。
例
(0,1)≈E1。我们可以定义连续函数f:(0,1)→E1 为f(t)=tan((t−21)π),t∈(0,1)。则f 是同胚映射。
例
同胚(0,1)≈S1−{(1,0)},其中S1 是欧式平面空间上的单位圆。
定理
拓扑等价(同胚)是一个等价关系:
- X≈X
- X≈Y⇔Y≈X
- X≈Y,Y≈Z⇒X≈Z
命题
开集、闭集、闭包、内部与点列的收敛性都是拓扑不变的。
确切地说,如果f:X≈Y,则U 是X 的开集,当且仅当f(U) 是Y 的开集。
如果f:X→Y 是映射,而且f 把X 中每个开(闭)集映成Y 中的开(闭)集,则称f 为开(闭)映射。
命题
设f:X→Y 是空间X 到空间Y 的函数,则下列彼此等价:
- f 是同胚
- f 是既单又满的开映射
- f 是既单又满的闭映射
最后,与同胚稍有差别的概念嵌入:
定义
如果f:X→Y 是映射,B=f(X),使得f 在B 中的诱导映射是同胚:
fB:X≈f(X)
则称f 为嵌入。并且当f 是嵌入时,我们常常把X 与f 的象f(X) 等同起来,从而把X 看成Y 的子空间。
命题
设f:X→Y,g:Y→X 均为映射,使得合成
g∘f=1X:X→X
则f 为嵌入。
# 紧致性
# 紧致空间
定义
设D={Dα}α∈Γ 是空间X 的一族子集,A 是X 的子集,使得A⊂⋃α∈ΓDα,则称D 为A 在X 中的一个覆盖。
如果覆盖D 中的每个成员都是开集,则我们称之为A 在X 中的一个开覆盖。若Γ 为有限(可数)集合,那么称D 为A 在X 中的一个有限(可数)覆盖。
若Λ⊂Γ 使得D0={Dα}α∈Λ,则称D0 为D 的一个子覆盖,如果A=X,则D 称为X 的覆盖,省略 “在X 中” 的描述。
例
拓扑空间(X,F) 中所有开集的族F 就是一个开覆盖。同样地,F 的拓扑基,所有球形邻域的集合B 也是一个开覆盖。
定义
如果空间X 的任何开覆盖,都有一个有限子覆盖,确切地说,对X 的任何开覆盖V={Vα}α∈Γ,存在子族V0={Vα1,...,Vαn}⊂V,使得V0 仍是X 的覆盖,则称X 为紧致拓扑空间。
定义
设A 为空间X 的子集,如果A 作为子空间是紧致的,则称A 为X 的紧致子集(紧致子空间)。
命题
设A 是空间X 的子集,则A 是X 的紧致子集当且仅当A 在X 中的任何开覆盖都有有限子覆盖。
Heine-Borel-Lebesgue 定理
E1 的任意闭区间[a,b] 是紧致子集。
例
E1 本身并不是紧致的,事实上
U={(−n,n)∣n=1,2,...}
形成了E1 的一个开覆盖,但是U 的任意有限子族{(−n1,n1),(−n2,n2),...,(−nk,nk)} 的并并不是E1 的覆盖,即U 没有有限子覆盖。
# 紧致空间的性质
命题
紧致空间的连续映射象仍是紧致的。特别,紧致性是拓扑(同胚)不变的。
证明:设C 是紧致空间X 的闭子集,U 是C 在X 中的开覆盖,那么U∪{X−C} 就成了X 的一个开覆盖。
因为X 是紧致的,故U∪{X−C} 存在一个有限子覆盖。
然后可考虑这个有限子覆盖,去掉X−C 后就得到了U 的一个有限子覆盖。
Bolzano-Weierstrass 性质
紧致空间的无穷子集必有聚点。
证明:设X 为紧致空间,我们证明没有聚点的任意子集A 必为有限集。因Aˊ=∅,A 是X 的闭集,由上个命题有A 是紧致的。
对每一个点a∈A,存在a 的一个开邻域Ua,使得Ua∩A={a}(因为a 不是A 的聚点)
于是就会有开覆盖{Ua}a∈A。
又因为A 是紧致的,故根据定义,其任意一个开覆盖都会有一个有限子覆盖{Ua}a∈A′。
而每个Ua 中只包含A 中的一个点,因为子覆盖是有限的,即A 也是有限的。
# Hausdorff 空间中的紧致性
定义
若空间的任意两个不同点有不相交的邻域,则称之为 Hausdorff 空间,也说它满足T2 公理。
事实上,任意度量空间都是 Hausdorff 空间。
命题
设集合A 是 Hasudorff 空间X 的紧致子集,x∈X−A,则x 与A 有互不相交的邻域。从而 Hausdorff 空间的紧致子集总之闭集。
更一般地,Hausdorff 空间中任意两个不相交的紧致子集有不相交的邻域。
命题
紧致 Hausdorff 空间中的子集是紧致的,当且仅当它是闭的。
定义
若空间X 的任意两个不相交的闭集有不相交的邻域,则称X 是正规空间。
命题
空间X 是正规的,当且仅当X 中的每个闭集F 的任意邻域包含F 的一个邻域的闭包。
定理
从紧致空间X 到 Hausdorff 空间Y 既单又满的映射是同胚。
# 度量空间的紧致性
定义
设A 是度量空间(X,ρ) 的子集,如果存在正数m,对任意x,y∈A,使得ρ(x,y)≤m 成立,则称A 是有界的,否则称A 是无界的。
空集是约定有界的,对于有界子集A,我们定义A 的直径是非负实数
d(A)={0supx,y∈A∣ρ(x,y)∣A=∅A=∅
命题
度量空间(X,ρ) 的紧致子集A 总是有界闭集。
推论
紧致空间X 到E1 的任何连续函数均有界,而且能在X 的点达到最大值与最小值。
Lebesgue 引理
设V={Vα}α∈Γ 是紧致度量空间(X,ρ) 的开覆盖,则存在正数λ(称为开覆盖V 的 Lebesgue 数),使得X 中的直径小于λ 的任何子集A 必包含于V 的某个成员Vα 中。
定理
从紧致度量空间(X,ρ) 到度量空间(X′,ρ′) 的连续映射f 总是一致连续的,即对于任意正数ε,存在正数δ 使得ρ(x,y)<δ⇒ρ′(f(x),f(y))<ε。
# 连通性
# 连通空间
定义
设A 与B 是空间X 的非空子集,且(Aˉ∩B)∪(A∩Bˉ)=∅,则称A 与B 为X 的一对分离子集。如果X 不是一对分离子集的并,则称X 为连通的,否则称X 为非连通的。
例
E1 中的区间(0,1),(1,2) 就是一对分离区间。因为(0,1)=[0,1],注意这里是在求闭包加入聚点而不是求补。而(0,1),[1,2) 就不是分离子集。
例
实直线E1=(−∞,∞) 是连通空间。
定理
设X 是空间,则下列陈述彼此等价
- X 是连通的
- X 不是两个不相交非空开集的并
- X 不是两个不相交非空闭集的并
- X 中只有X 与∅ 既开又闭
- 对任意连续函数f:X\rightarrow E^1,f(X)\neq\
# 子集的连通性
定义
空间X 的子集A 称为X 的连通子集,如果A 作为X 的子集是连通的。
命题
连通空间的连续映射象是连通集。
连通性是同胚不变的,即若X≈Y,则X 连通当且仅当Y 连通。
设Y 为空间X 的子空间,Z⊂Y,则Z 是Y 的连通子集当且仅当Z 是X 的连通子集。
引理:
设Y 为X 的非空连通子集,A 与B 是X 中的一对分离子集,使得Y⊂A∪B。则Y⊂A 或Y⊂B。
命题
在空间X 中,设Y 是连通子集,且Y⊂Y1⊂Yˉ,则Y1 也是连通的。特别地,若Y 连通,则Yˉ 也是连通的。
例
实数轴上任意一个区间都是连通的。事实上。任意一个开区间还与E1 同胚。
命题
设Y 是空间X 的连通子集{Yα}α∈Γ 是X 的一族连通子集,使得Yα∩Y=∅,对一切α∈Γ 成立。则Y∪(⋃α∈ΓYα) 仍是连通的。
定义
若A 是空间X 的连通子集,而且又不是别的连通集的真子集,则称A 为X 的极大连通子集或连通分支。
命题
X 的连通分支总是闭集。不同的连通分支彼此分离。
# 道路连通性
定义
设f:I→X 是映射,f(i)=xi,i=0,1。则称f 为X 中连接x0 和x1 的道路。x0,x1 分别称为道路的起点和终点。
如果X 中任意两点都有X 中道路连接,则称X 为道路连通的。
而映射fˉ(t)=f(1−t) 则被称为f 的逆道路。
例
欧式空间中的子集X 称为凸集如果对任意x,y∈X 由点x 与y 确定的闭线段
[x,y]={(1−t)x+ty∣t∈I}
整个包含于X。
现在,我们证明凸集X 是道路连通的。定义f(t)=(1−t)x+ty 易见f(I)⊂X,并且f 是连续的,从而f 是道路。
命题
设σ,τ 是X 中的道路,使得
σ(1)=y=τ(0)
则由下式
(σ∗τ)(t)={σ(2t)τ(2t−1)0≤t≤2121≤t≤1
定义的σ∗τ:I→X 是从σ(0)=x 到σ(1)=z 的道路。称为σ 和τ 的积。
命题
道路连接空间的连续映射象仍是道路连通的。特别地,道路连通性是拓扑不变的。
定义
若A 是空间X 的道路连通子集,又不是别的道路连通子集的真子集,则称A 为X 的极大道路连通子集或道路连通分支。
命题
空间的每个非空道路连通子集恰包含于一个道路的连通分支中。每个空间都是互不相交的道路连通分支的并。
例
考虑这样一个点集X=Y∪Z:
Y={(0,t)∈E2∣−1≤t≤1}Z={(x,sinxπ)∈E2∣0<x≤1}
它是连通的,但不是道路连通的。
E1 与E2 是不同胚的。
# 乘积空间
# 乘积空间与乘积拓扑
命题
En 的子集族
B={U1×U2×U3×...×Un}
其中Ui 是E1 的开集。那么该子集族是En 的一个拓扑基。
这个想以下,本质上就是n 维欧氏空间的坐标是n 个一维空间的直积。
定义
对给定的n 个拓扑空间(Xi,Fi),选取点集的直积X=X1×...×Xn 的子集族:
B={U1×...×Un∣Ui∈Fi}
是集合X 的一个拓扑基,被称为乘积拓扑。Xi 被称为拓扑积X 的第 i 个坐标(因子)空间。
例
圆周S1 与单位区间I 的拓扑积是以S1 为准线,I 为母线的圆柱侧面,如下图:
![1]()
然后可以考虑V 是I 上的一个开集,U 是S1 上的一个开集,那么U×V 就是拓扑积S1×I 上的一个开集。
例
S1×{0} 和S1×{1} 分别是上个例子中圆柱的上底面和下底面。
例
环面是两个圆周S1 的拓扑积:
![2]()
整个环面上的点都可以用两个实数坐标确定。实际上,作为欧氏空间E3 的子空间,它与E1×E1 是同胚的。
# 积空间的连续性
首先,我们描述坐标空间与积空间之间的映射,令
p1:X×Y→X,p2:X×Y→Y
分别表示拓扑积X×Y 到第一个坐标空间X 和第二个坐标空间Y 的投影。设x0,y0 分别是X,Y 中的给定点,还可以定义
i1(x)=(x,y0),i2(y)=(x0,y)
命题
投影p1 和p2 为满的开映射。
i1,i2 均为映射,且分别把X 和Y 嵌入X×Y 为子空间X×{y0} 与{x0}×Y。
例如实数轴E1 可以嵌入欧式平面E2 成为平行于坐标轴的直线。
下面这个命题讨论了任意空间Z 到拓扑积空间X×Y 的函数f:Z→X×Y 在什么情况下连续的问题,它使得我们把问题简化为验证每个坐标函数是否连续。
命题
函数f:Z→X×Y 连续,当且仅当坐标函数
p1∘f:Z→X,p2∘f:Z→Y
均连续。
然而,如果有函数是从积空间到另一个空间f:X×Y→Z,而f∘i1 和f∘i2 在x0,y0 处均连续,并不能推出f 在(x0,y0) 处连续。反例:
f(x,y)={x2+y2xy0(x,y)=0(x,y)=0
在(0,0) 处有(f∘i1)=f(x,0),(f∘i2)=f(0,y) 都是单独分别连续的,但是f 在(0,0) 处并不连续。因为可以沿着y=kx 这条线逼近原点,此时f(x,kx)≡1+k2k 不为 0。
命题
设fi:Xi→Yi 为映射,则可以定义
(f1×f2)(x1,x2)=(f1(x1),f2(x2))
则f1×f2:X1×X2→Y1×Y2 也是映射,称为f1 与f2 的拓扑积。由此可得
X1≈Y1,X2≈Y2⇒X1×X2≈Y1×Y2
# 有限可积性质
定义
如果有限个拓扑空间X1,...,Xn 具有性质P,能够推出积空间X1×...×Xn 也有性质P,那么称P 为有限可积性质。
命题
X×Y 是 Hausdorff 空间,当且仅当X,Y 均为 Hausdorff 空间。
X×Y 是连通空间,当且仅当X,Y 均为连通空间。
X×Y 是道路连通空间,当且仅当X,Y 均为道路连通空间。
X×Y 是紧致的,当且仅当X,Y 均为紧致的。
命题
设a∈X,B 是Y 的紧致子集,W 是{a}×B 在X×Y 中的邻域。则存在X 与Y 的开集U,V 使得{a}×B⊂U×V⊂W。
最后,我们指出En 内有界闭集与紧致性的等价性:
En 的子集是紧致的,当且仅当它是有界闭集。
# 粘合空间
# 粘合拓扑
在这里可以先考虑一个例子,这个例子很好地说明了同胚空间的用处。考虑下图所示平面双摆
![3]()
我们可以用(φ,ψ) 唯一地确定摆锤的一个位置,而且特别地,(φ+2nπ,ψ+2mπ) 和(φ,ψ) 对应同一个位置。因此我们考虑用一个边长为2π 的正方形,同时粘合两组对边组成的一个环面来描述摆锤的位置。
![4]()
而同胚的概念,就可以形象地理解为,相近的摆锤的位置对应的点,在环面上也是相近的。
定义
设(X,F) 为拓扑空间,∼ 是集合X 中的一个等价关系,p:X→X/∼ 为X 到商集X/∼ 的自然投射,那么定义商集X/∼ 的子集族:
H∼={W⊂X/∼∣p−1(W)∈F}
则H∼ 是商集X/∼ 上的拓扑,称为F 关于等价关系∼ 的粘合拓扑(商拓扑),(X/∼,H∼) 称为(X,F) 关于等价关系∼ 的粘合空间(商空间)。
自然映射p:X→X/∼ 是满映射,称为粘合映射。
更一般地,如果p:X→Y 是满映射,使得Y 的子集W 是开集当且仅当p−1(W) 是X 的开集,则我们把这样的p 称为粘合映射,Y 的拓扑称为p 在Y 上诱导的粘合拓扑。
命题
设p:X→Y 为粘合映射,f:X→Z 为映射,使得对任意y∈Y,f[p−1(y)] 是Z 的独点集,即f∘p−1 为函数,则函数f∘p−1:Y→Z 是连续映射,且g∘p=f,这可以标识为以下交换图:
![5]()
命题
设f:X→Y 为粘合映射,K 为紧致的 Hausdorff 空间,则f 与恒等映射1K 的拓扑积f×1K:X×K→Y×K 为粘合映射。
# 例子
例
设A 为空间X 的子集,定义X 上的等价关系为,A 中的点相互等价,X−A 中的点互不等价,即只跟自己等价。如此得到的空间X/∼ 记作X/A,形象化地理解为 “把A 中的点捏成一个点”。
譬如I/{0,1} 可以看作把单位区间两端捏在一起而成,并且I/{0,1}≈S1。一般地,有
In/I˙n≈Bn/Sn−1≈Sn
例(莫比乌斯带)
从E2 内的长方形X=[0,8]×[0,1] 开始,定义X 中的等价关系为:(0,y)∼(8,1−y),y∈I,此外每个点与自己等价。所得的粘合空间就为莫比乌斯带。
例(克莱因瓶)
从E2 内的正方形X=I2 开始,定义X 中的等价关系为(0,y)∼(1,y),y∈I;(x,0)∼(1−x,1),x∈I,此外每个点都与自己等价。所得空间为克莱因瓶。相比于环面,在把正方形卷成圆柱后,克莱因瓶是把上下底面方向相反地粘在一起,导致必然会有曲面相交。
# 基本群
# 映射的同伦与空间的同伦型
# 映射的同伦
定义
设f0,f1:X→Y 是两个映射,如果存在连续映射H:X×I→Y 使得
H(x,t)=ft(x),x∈X,t=0,1
就说f0 同伦于f1,记作f0≃Hf1:X→Y,或简记为f0≃Hf1,甚至记为f0≃f1。其中H 称为f0 到f1 的一个同伦或伦移。
理解同伦关系可以把t 理解为时间,把映射理解为空间路径。即可以在一定时间内,从形状 1,连续地变化为形状 2。
例
设C 为欧氏空间内的一个凸集,f,g 是任意空间到C 的映射,定义H:X×I→C 为
H(x,t)=(1−t)f(x)+tg(x)
则H 是f 到g 的一个同伦。特别地,若g 是常值映射,则f 同伦于常值映射,被称为是零伦的,写作f≃0。
定理
同伦关系≃ 是YX 上的等价关系。
证明:自反性,可以构造H(x,t)≡f(x),则f≃Hf。
对称性,可构造同伦的逆Hˉ(x,t)=H(x,1−t),即时间倒流的形变。
传递性,可以先进行形变 1,再进行形变 2,即:
H(x,t)={H1(x,2t)H2(x,2t−1)0≤t≤2121≤t≤1
考虑粘接引理,它是一个连续映射。故证毕。
引理
若f0≃f1:X→Y,g0≃g1:Y→Z 则g0∘f0≃g1∘f1:X→Z。
# 空间的同伦型
定义
若有映射f:X→Y 与g:Y→X 使得g∘f=1X,f∘y=1Y,则称映射f 为从X 到Y 的同伦等价,g 称为f 的同伦逆,并且也说X 和Y 是同伦等价的,或说X 与Y 有相同的同伦型,记作f:X≃Y。
在同伦等价映射下保持不变的性质被称为同伦不变性质,
定理
同伦关系≃ 是拓扑空间上的等价关系。
例
欧式空间的凸集与独点空间有相同的同伦型。事实上,若X 是凸集,a∈X,令i:{a}↪X 是内射,r:X→{a} 是常值映射,则有r∘i=1{a}。
又由于任意空间到欧氏空间凸集的映射都是同伦的(见前例),故有r∘i≃1X。
例
对n≥1,En−{O}≃Sn−1。可以定义
i:Sn−1→En−{O},i(x)=xr:En−{O}→Sn−1,r(x)=∣∣x∣∣x
于是有r∘i=1Sn−1。那么考虑证明i∘r≃1En−{O}:
H:(En−{O})×I→En−{O}H(x,t)=tx+(1−t)∣∣x∣∣x
在二维情况下,可以理解为运动趋势:
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这里也可以理解为什么要挖去原点。因为尽管可以构造H(0,t) 向某个方向移动,但一定会导致在x=0 处不是连续的。
定义
设A 是X 的子空间,i:A↪X 表示内射,如果存在映射r:X→A,使得r∘i=1A,则r 称为X 到A 的保核收缩(映射),A 称为X 的收缩核。
如果除此之外还有同伦1X≃Hi∘r,则H 称为X 到A 的一个形变收缩,A 称为X 的形变收缩核。
假如同伦还满足条件∀a∈A,t∈I,H(a,t)=a,则称H 为X 到A 的一个强形变收缩,A 称为X 的强形变收缩核。
# 零伦与可缩空间
命题
考虑一种锥形。对任意空间X,粘合空间X×I/X×{1} 被称为X 上的锥形,记作CX。对应x→[x,0] 把X 嵌成锥形CX 的闭子空间,称为CX 的底,X×{1} 的粘合象称为CX 的顶点。
这样的锥形都是可缩的。
同时,f≃0 当且仅当f 可以扩张到锥形上。
命题
以下短语等价
- X 可缩
- 1X≃0
- 对任意空间Y 和映射f:X→Y,f≃0
- 对任意空间Z 和映射g:Z→X,g≃0
- X 是锥形CX 的收缩核
# 相对同伦
设A 是空间X 的子集,则有序偶(X,A) 称为空间偶。又若f:X→Y 把子集A 映射到Y 的子集B,则我们把它记为
f:(X,A)→(Y,B)
称为空间偶到空间偶的映射。若f:(X,A)→(Y,B),g:(Y,B)→(X,A) 均为映射,使得g∘f=1X,f∘g=1Y,则称f 为空间偶的同胚,记作
f:(X,A)≈(Y,B)
若F:X×I→Y 是同伦,使得F(A×I)⊂B,则记作F:(X×I,A×I)→(Y,B) 或F:(X,A)×I→(Y,B),称为空间偶(X,A) 到(Y,B) 间的同伦。
又若
F(X,0)=f0(x),F(x,1)=f1(x)
则称F 是偶的映射f0 到f1 的同伦,记作
f0≃Ff1:(X,A)→(Y,B)
更进一步,如果
∀a∈A,t∈I,F(a,t)=f0(a)=f1(a)
则称为相对于A,f0 同伦于f1 记作f0≃Ff1:X→YrelA。
# 基本群的定义
# 道路类的积
首先,显然地,道路的积并不满足结合律,因为它并不是三等分,而是 1/4,1/4,1/2 这样合成的三条路。
为了解决这个问题,用relI˙ 的同伦类来代替道路:
定义
设f0,f1:I→X 是两条道路,使得f0∣i=f1∣i 即f0(0)=f1(0),f0(1)=f1(1)。如果f0≃f1:I→XrelI˙,则称f0 与f1 是等价的道路。记作f0≃.f1,仍用[f0] 表示f0 所在的等价类,称为f0 的道路类。
根据定义,f0≃.f1 意味着有一个映射F:I×I→X 使得
F(t,0)=f0(t),F(t,1)=f1(t)F(0,s)=f0(0),F(1,s)=f0(1)
直观意义如图
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可以看作F 把一个单位正方形,连续地映射到了一个纺锤形。
例
设X 是En 中的凸集,x0,x1∈X,α,β 是X 中从x0 到x1 的两条道路,则α≃.β。定义的H:I×I→X 为
H(t,s)=(1−s)α(t)+sβ(t)
引理
若f0≃.f1,g0≃.g1,f0(1)=