Dihedral Group 的表示

如题

我们来求 Dihedral group $D_N=\langle r,s:r^N=s^2=1,rs=sr^{-1}\rangle$ 的所有不等价、不可约酉表示。

根据特征标正交性理论，我们知道不等价、不可约表示的特征标构成了类函数空间的一组基。所以不等价、不可约表示的个数等于（有限）群的共轭类个数。

我们知道$D_N$ 中的元素要么形如$r^i$，要么形如$sr^i$。那么共轭运算为：

• $r^j\cdot r^i\cdot r^{-j}=r^i$;
• $sr^j\cdot r^i\cdot r^{-j}s=r^{-i}$;
• $r^j\cdot sr^i\cdot r^{-j}=sr^{i-2j}$;
• $sr^j\cdot sr^i\cdot r^{-j}s=sr^{2j-i}$.

前两行告诉我们，$r^i,r^{-i}$ 一定在同一个类中。所以已经有共轭类：

$$\begin{aligned} &\text{若}N\text{是偶数}: && \{1\},\{r,r^{N-1}\},...,\{r^{N/2}\} \text{共}\tfrac{N}{2}+1\text{个类}; \\ &\text{若}N\text{是奇数}: && \{1\},\{r,r^{N-1}\},...,\{r^{(N-1)/2},r^{(N+1)/2}\} \text{共}\tfrac{N+1}{2}\text{个类}. \\ \end{aligned}$$

仔细观察第 3 行，我们会发现如果$N$ 是偶数时，$\{s,sr,sr^2,...,sr^{N-1}\}$ 会分裂成 2 个共轭类；否则如果$N$ 是奇数时，$\{s,sr,sr^2,...,sr^{N-1}\}$ 会是一个共轭类，因为$-2$ 共$N$ 次就可以遍历所有元素。

$$\begin{aligned} &\text{若}N\text{是偶数}: && \{s,sr^2,sr^4,...,sr^{N-2}\},\{sr,sr^3,sr^5,...,sr^{N-1}\} \text{共}2\text{个类}; \\ &\text{若}N\text{是奇数}: && \{s,sr,sr^2,sr^3,...,sr^{N-1}\} \text{共}1\text{个类}. \\ \end{aligned}$$

综上，$N$ 为偶数时，共有$\tfrac{N}{2}+3$ 个类，否则$N$ 为奇数时，共有$\tfrac{N+1}{2}+1$ 个类。

对于$N\geq 3$ 时才会有二维不可约表示。可以考虑表示空间就是 2 维欧式空间，然后群元素作用就是其几何含义。
那么对于$k=1,2,...,\lfloor \frac{N-1}{2}\rfloor$，都可以定义一个二维表示$\rho_k$：

$$\rho_k(s)=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix},\quad \rho_k(r)=\begin{pmatrix} \cos\frac{2\pi k}{N} & -\sin\frac{2\pi k}{N}\\ \sin\frac{2\pi k}{N} & \cos\frac{2\pi k}{N}\\ \end{pmatrix}.$$

可以用特征标或者其他方式验证，这些表示都是不可约的。
对于一维表示，当$N$ 为奇数时，就只有 2 个：

$$\begin{cases} \rho(r)=1\\ \rho(s)=1 \end{cases},\qquad \begin{cases} \rho(r)=1\\ \rho(s)=-1 \end{cases}.$$

当$N$ 为偶数时，有 4 个：

$$\begin{cases} \rho(r)=1\\ \rho(s)=1 \end{cases},\qquad \begin{cases} \rho(r)=1\\ \rho(s)=-1 \end{cases},\qquad \begin{cases} \rho(r)=-1\\ \rho(s)=1 \end{cases},\qquad \begin{cases} \rho(r)=-1\\ \rho(s)=-1 \end{cases}.$$

下面我们验证这些表示就是所有的不等价、不可约酉表示。

$N$ 为奇数时，一共有$\frac{N-1}{2}+2$ 个表示，$N$ 为偶数时，一共有$\frac{N-2}{2}+4$ 个表示。这恰好和共轭类数量相同。根据 Burnside 引理，可以验证维数的平方和就恰好为群的阶：

$$\frac{N-1}{2}\cdot 2^2+2\cdot 1^2=2N=|D_N|=\frac{N-2}{2}\cdot 2^2+4\cdot 1^2.$$

所以这些表示就是所有的不等价、不可约酉表示。