抽到的 SSR 暑课

# 拓扑空间

# 度量空间

我们用 $\rho(x,y)$ 表示点 $x$ 到 $y$ 的距离，当谈到点列 $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ 以 $a$ 为极限时，都意味着 $\lim_{n\rightarrow\infty}\rho(x_n,a)=0$ 。这里定义的距离的本质上由下列四条基本性质确定：

$\rho(x,y)\geq 0$
$\rho(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$
$\rho(x,y)=\rho(y,x)$
$\rho(x,z)\leq \rho(x,y)+\rho(y,z)$

我们把这四条性质称为度量公理，其中第四条称为三角不等式。

定义

设 $X$ 为一非空几何， $\rho:X\times X\rightarrow \mathbb{R}$ 为一函数，使得对 $X$ 的任意点总满足度量公理，则 $\rho$ 称为 $X$ 上的一个度量，偶 $(X,\rho)$ 称为以 $\rho$ 为度量的度量空间。若 $x,y\in X$ ，则 $\rho(x,y)$ 称为 $x,y$ 间的距离。

例：实数空间的通常度量 $E^1=(\mathbb{R},\rho)$ ：

$\rho(x,y)=|x-y|\quad x,y\in\mathbb{R}$

# 度量空间的开集

定义

设 $(X,\rho)$ 为度量空间， $x\in X,\varepsilon$ 为一正数，则称 $X$ 的子集

$B(x,\varepsilon)=\{y\in X|\rho(y,x)<\varepsilon\}$

为以 $x$ 为中心， $\varepsilon$ 为半径的球形邻域，简称 $x$ 的 $\varepsilon-$ 邻域。

命题

设 $\mathscr{B}$ 为度量空间 $(X,\rho)$ 的所有球形邻域组成的族，则

$X=\bigcup_{B\in\mathscr{B}}B$ .
若 $B_1,B_2\in\mathscr{B},x\in B_1\cap B_2$ ，则存在 $x$ 的一个球形邻域 $B_x$ ，使得 $x\in B_x\subset B_1\cap B_2$ .
若 $B\in\mathscr{B},x\in B$ ，则存在 $x$ 的球形邻域 $B_x$ 使得 $x\in B_x\subset B$ .

证明，第一条因为所有的点 $x$ 都属于它自己的球形邻域。第二个画画图能画出来可以取 $\varepsilon=min\{\varepsilon_1-\rho(x,x_1),\varepsilon_2-\rho(x,x_2)\}$ 。第三条也很简单。

定义

度量空间 $(X,\rho)$ 的子集 $A$ ，如果它是若干（有限或无限）个球形邻域的并，即存在子族 $\mathscr{B}_0\subset\mathscr{B}$ ，使得 $A=\bigcup_{B\in\mathscr{B}_0}B$ ，则 $A$ 称为开集。

根据定义，每个球形邻域自己也是开集。

定理

设 $\mathscr{F}$ 为度量空间 $(X,\rho)$ 的全体开集组成的族，则 $\mathscr{F}$ 满足下列开集公理：

$X\in\mathscr{F}$ .
$\emptyset\in\mathscr{F}$ .
$O_1,O_2\in\mathscr{F}\Rightarrow O_1\cap O_2\in\mathscr{F}$ .
对任意子族 $\mathscr{F}_0\subset\mathscr{F}$ , $\bigcup_{O\in\mathscr{F}_0}O\in\mathscr{F}$ .

# 拓扑空间

定义

设 $X$ 是集合， $\mathscr{F}$ 是 $X$ 的一个子集族，其成员满足开集公理，则称 $\mathscr{F}$ 为集合 $X$ 上的一个拓扑， $\mathscr{F}$ 称为 $X$ 的开集。集合 $X$ 与它的一个拓扑 $\mathscr{F}$ 组成的偶 $(X,\mathscr{F})$ 称为拓扑空间，简称空间。 $X$ 的点、子集、开集与拓扑仍分别称为空间 $(X,\mathscr{F})$ 的点、子集、开集与拓扑。

例

任何度量空间都是拓扑空间， $\mathscr{F}$ 就是全体开集组成的族，被称为度量拓扑。因此 $n$ 维欧氏空间 $E^n$ 以及 Hilbert 空间 $E^\omega$ 都是拓扑空间。

例

设 $X\neq\emptyset$ ，令 $\mathscr{F}=\{X,\emptyset\}$ ， $\mathscr{F}'=2^X$ 为 $X$ 的幂集，则不难验证 $(X,\mathscr{F})$ 和 $(X,\mathscr{F}')$ 分别称为集合 $X$ 上的平凡拓扑与离散拓扑。

例

设 $X=\{a,b,c\}$ ，令

$\mathscr{F}=\{\emptyset,\{a\},\{a,b\},\{a,c\},\{a,b,c\}\}$

不难验证 $\mathscr{F}$ 是 $X$ 的一个拓扑，因此 $(X,\mathscr{F})$ 是拓扑空间。

# 拓扑基

我们已经看到，度量空间的球形邻域族 $\mathscr{B}$ 是它的度量拓扑 $\mathscr{F}$ 的子族，而且每一开集可以由 $\mathscr{B}$ 的成员通过并的运算得到。这与向量空间中的向量可以由它的基组成类似。因此我们把 $\mathscr{B}$ 称为 $\mathscr{F}$ 的基。

定义

设集合 $X$ 的一个子集族 $\mathscr{B}=\{B_\alpha\}_{\alpha\in\Gamma}$ 满足下列两条性质：

$X=\bigcup_{\alpha\in\Gamma}$ .
若 $\alpha,\beta\in\Gamma,x\in B_\alpha\cap B_\beta$ , 则存在 $\gamma\in\Gamma$ 使得 $x\in B_\gamma\subset B_\alpha\cap B_\beta$ .

则称 $\mathscr{B}$ 为 $X$ 的一个拓扑基。

命题

设 $\mathscr{B}$ 是集合 $X$ 的拓扑基，则 $X$ 的子集 $A$ 是关于 $\mathscr{B}$ 的开集，当且仅当对每一点 $a\in A$ 存在 $B_a\in\mathscr{B}$ ，使得 $a\in B_a\subset A$ 。

定理

设 $\mathscr{B}$ 是集合 $X$ 的拓扑基，则关于 $\mathscr{B}$ 的开集的全体 $\mathscr{F}$ 是 $X$ 的一个拓扑，而且 $\mathscr{B}\subset \mathscr{F}$ 。特别，如果 $\mathscr{B}$ 本身是个拓扑，则 $\mathscr{B}=\mathscr{F}$ 。

命题

设 $(X,\mathscr{F})$ 是拓扑空间，如果 $X$ 的一个子集族 $\mathscr{B}\subset\mathscr{F}$ ，使得每个 $U\in\mathscr{F}$ 都是 $\mathscr{B}$ 中成员的并，则 $\mathscr{B}$ 是 $(X,\mathscr{F})$ 的拓扑基。特别， $\mathscr{F}$ 是 $(X,\mathscr{F})$ 的拓扑基。

例

设欧式空间 $E^n$ 的子集族： $\mathscr{B}_1=\{B(x,\varepsilon)|x$ 的坐标是有理数， $\varepsilon$ 是正有理数 $\}$ 。则 $\mathscr{B}_1$ 是 $E^n$ 的一个拓扑基。

# 关于子集的基本概念

# 闭集

定义

如果 $X-F$ 是 $X$ 的开集，则 $F$ 称为 $X$ 的闭集。

定理

设 $\mathscr{C}$ 为空间 $X$ 的全体闭集，则它满足闭集公理：

$\emptyset\in\mathscr{C}$ .
$X\in\mathscr{C}$ .
$C_1,C_2\in\mathscr{C}\Rightarrow C_1\cup C_2\in\mathscr{C}$ .
对任意子族 $\mathscr{C}_0\subset\mathscr{C},\bigcap_{C\in\mathscr{C}_0}C\in\mathscr{C}$ .

换言之，对集合 $X$ 上给定的子集族 $\mathscr{C}$ ，如果它满足闭集公理，则

$\mathscr{F}=\{X-C|C\in\mathscr{C}\}$

就成为 $X$ 上的一个拓扑。

# 邻域、内部与闭包

定义

点 $x\in A$ 称为 $A$ 在 $X$ 中的一个内点，如果存在开集 $U$ 使得 $x\in U\subset A$ . 这时我们还说 $A$ 是 $x$ 在 $X$ 中的一个邻域。若 $A$ 本身是开集，就说 $A$ 是 $x$ 在 $X$ 中的开邻域。类似地， $A$ 称为 $B$ 在 $X$ 中的一个邻域，如果存在开集 $U$ 使得 $B\subset U\subset A$ 。 $A$ 在 $X$ 中的内点的全体称为 $A$ 在 $X$ 的内部，记作 $\mathring{A}$ 。当 $A$ 是两个以上子集运算的结果时，我们记做 $(A)^\circ$ 。

点 $x$ 与子集 $A$ 的位置关系除了上述的内点之外，还有集中重要的位置关系值得注意。

如果点 $x$ 在 $X$ 中的每个邻域 $U$ 包含 $A-\{x\}$ 的点，即 $U\cap(A-\{x\})\neq\emptyset$ ，则称 $x$ 为 $A$ 在 $X$ 中的一个聚点，当然内点也可能是聚点。 $A$ 在 $X$ 中的全体聚点称为 $A$ 的导集，记为 $\acute{A}$ 。我们还把 $A-\acute{A}$ 的点称为 $A$ 在 $X$ 中的孤立点。子集 $A\cup\acute{A}$ 称为 $A$ 在 $X$ 中的闭包，记作 $\bar{A}$ 。

于是， $x\in\bar{A}$ 当且仅当对 $x$ 的每个邻域 $U$ 都有 $U\cap A\neq\empty$ 。

此外，如果点 $x$ 在 $X$ 中的每个邻域既含 $A$ 的点，又含 $X-A$ 的点，则称 $x$ 为 $A$ 在 $X$ 中的一个边界点。 $A$ 在 $X$ 中的全体边界点称为 $A$ 在 $X$ 中的边界，记为 $\dot{A}$ 。

定义

$X$ 的点列 $\{x_n\}_{n\in N}$ 称为收敛到点 $a\in X$ ，如果对 $a$ 在 $X$ 中的任意邻域 $U$ ，存在正整数 $m$ ，使得 $n>m$ 时，有 $x_n\in U$ 。这时也说 $a$ 是点列 $\{x_n\}_{n\in N}$ 的极限（点），记作 $\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a$ 。如果 $(X,\rho)$ 是度量空间，则不难看出 $\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a$ 当且仅当 $\lim_{n\rightarrow\infty}\rho(x_n,a)=0$ 。

命题

$X-\mathring{A}=\overline{X-A},(X-A)^\circ=X-\bar{A}$

会发现第二个式子就是第一个式子的直接推论。

根据定义: $x\in\overline{X-A}\Leftrightarrow$ 对 $x$ 的每个邻域 $U$ ， $U\cap(X-A)\neq\emptyset\Leftrightarrow$ $x\notin\mathring{A}\Leftrightarrow x\in X-\mathring{A}$ 。

命题

$\mathring{A}$ 是包含在 $A$ 中所有开集的并， $\bar{A}$ 是包含 $A$ 的所有闭集的交。

命题

对 $X$ 的任意子集 $A,B$ 有

$\mathring{A}\subset A\subset\bar{A}$ .
若 $A\subset B$ ，则 $\mathring{A}\subset\mathring{B}$ ，且 $\bar{A}\subset\bar{B}$ .
$A$ 是 $X$ 中的开集 $\Leftrightarrow \mathring{A}=A$
$A$ 是 $X$ 中的闭集 $\Leftrightarrow \bar{A}=A$ .
$(\mathring(A))^\circ=\mathring{A},\bar{\bar{A}}=\bar{A}$ .
$(A\cap B)^\circ=\mathring{A}\cap\mathring{B},\overline{A\cup B}=\bar{A}\cup\bar{B}$ .

# 连续映射与同胚

# 连续映射及其基本特征

定义

设 $f:X\rightarrow Y$ 为空间 $X$ 到空间 $Y$ 的一个函数， $x_0\in X$ ，如果对 $f(x_0)\in Y$ 的任意邻域 $V$ ，总存在 $x_0$ 的一个邻域 $U$ 使得 $f(U)\subset V$ ，则称 $f$ 在点 $x_0$ 处连续。

若 $f$ 在 $X$ 的每一点连续，则称 $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 的连续映射，简称映射，当 $Y=E^1$ ，则称映射 $f:X\rightarrow E^1$ 为连续的（实值）函数。

定理

设 $f:X\rightarrow Y$ 是空间 $X$ 到空间 $Y$ 的函数，那么以下论断等价：

$f$ 是映射.
对 $Y$ 的任意开集 $V$ ， $f^{-1}(V)$ 是 $X$ 中的开集.
对 $Y$ 的任意闭集 $F$ ， $f^{-1}(F)$ 是 $X$ 中的闭集.
对任意 $A\subset X$ ， $f(\bar{A})\subset\overline{f(A)}$ .
对任意 $B\subset Y$ ， $\overline{f^{-1}(B)}\subset f^{-1}(\bar{B})$ .
对 $Y$ 的任意拓扑基的每个成员 $B$ ， $f^{-1}(B)$ 是 $X$ 的开集.
对任意 $B\subset Y$ ， $f^{-1}(\mathring{B})\subset (f^{-1}(B))^\circ$ .

定理

设 $f:X\rightarrow Y$ 是空间 $X$ 到空间 $Y$ 的给定函数，若 $f$ 在点 $x\in X$ 处连续，则对 $X$ 的每个收敛到 $x$ 的点列 $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ ，有

$\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=x\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=f(x)$

反之，若对于每个收敛到 $x$ 的点列 $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ 都有 $\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=x$ ，那么 $f$ 在点 $x$ 处连续。

# 映射举例

例

常值映射 $e:X\rightarrow Y$ ， $e(X)$ 是 $Y$ 的独点子集，则 $e$ 为映射。

例

内射 $i:A\rightarrow X$ ，其中 $A$ 是空间 $X$ 的子空间， $i$ 定义为

$i(a)=a,a\in A$

则 $i$ 为映射。特别地，当 $A=X$ 则为恒等映射 $1:X\rightarrow X$ 。

例

若 $f:X\rightarrow Y$ 和 $g:Y\rightarrow Z$ 均为映射，那么 $g\circ f:X\rightarrow Z$ 也是映射。

例

设 $f:X\rightarrow Y$ 是映射， $A$ 是 $X$ 的子空间，由

$(f|_A)(a)=f(a),a\in A$

定义的 $f|_A:A\rightarrow Y$ 也是映射，称为映射 $f$ 在 $A$ 上的限制，同时称 $f$ 为 $f|_A$ 在 $X$ 上的扩张。

例

设 $f:X\rightarrow Y$ 是映射， $B$ 是 $Y$ 的子空间，使得 $f(X)\subset B$ ，则由 $f$ 确定的函数 $f^B:X\rightarrow B$ :

$f^B(x)=f(x),x\in X$

也是映射，称为 $f$ 在 $B$ 中的诱导映射。特别，当 $B=f(X)$ 时， $f^B:X\rightarrow f(X)$ 也是映射。

粘接引理

设 $F_1,F_2,...,F_n$ 为 $X$ 的闭子空间，使得 $X=\bigcup_{i=1}^nF_i$ 。 $f_i:F_i\rightarrow Y$ 为给定映射， $i=1,2,...,n$ 且满足相容条件：

$f_i|_{F_i\cap F_j}=f_j|_{F_i\cap F_j},1\leq i,j\leq n$

则由

$f(x)=f_i(x),x\in F_i$

定义的函数 $f:X\rightarrow Y$ 是映射。我们通常把上述定义写为

$f|_{F_i}=f_i,i=1,2,...,n$

# 同胚

例

设 $S^1$ 是欧式平面（看作复平面）内的单位圆周， $X=[0,1)\in E^1$ 。定义指数函数 $p:X\rightarrow S^1$ 为

$p(x)=e^{2\pi ix},x\in X$

不能验证 $p$ 是既单又满的映射。那么我们可以把线段 $[0,1)$ 和圆周看作同样的图形吗？显然不可以，造成这两个图形差别大（一个是左闭的，一个是两头开的）的原因是 $p^{-1}:S^1\rightarrow X$ 在点 $(1,0)$ 处不连续。

定义

设 $f:X\rightarrow Y$ 是既单又满的映射，且其逆 $f^{-1}:Y\rightarrow X$ 也是映射，则 $f$ 称为 $X$ 到 $Y$ 的同胚，记作 $f:X\approx Y$ 。如果存在这样的同胚，那么我们也说 $X$ 与 $Y$ 拓扑等价或同胚等价，记作 $X\approx Y$ 。

例

$(0,1)\approx E^1$ 。我们可以定义连续函数 $f:(0,1)\rightarrow E^1$ 为 $f(t)=tan((t-\frac{1}{2})\pi),t\in(0,1)$ 。则 $f$ 是同胚映射。

例

同胚 $(0,1)\approx S^1-\{(1,0)\}$ ，其中 $S^1$ 是欧式平面空间上的单位圆。

定理

拓扑等价（同胚）是一个等价关系：

$X\approx X$
$X\approx Y\Leftrightarrow Y\approx X$
$X\approx Y,Y\approx Z\Rightarrow X\approx Z$

命题

开集、闭集、闭包、内部与点列的收敛性都是拓扑不变的。

确切地说，如果 $f:X\approx Y$ ，则 $U$ 是 $X$ 的开集，当且仅当 $f(U)$ 是 $Y$ 的开集。

如果 $f:X\rightarrow Y$ 是映射，而且 $f$ 把 $X$ 中每个开（闭）集映成 $Y$ 中的开（闭）集，则称 $f$ 为开（闭）映射。

命题

设 $f:X\rightarrow Y$ 是空间 $X$ 到空间 $Y$ 的函数，则下列彼此等价：

$f$ 是同胚
$f$ 是既单又满的开映射
$f$ 是既单又满的闭映射

最后，与同胚稍有差别的概念嵌入：

定义

如果 $f:X\rightarrow Y$ 是映射， $B=f(X)$ ，使得 $f$ 在 $B$ 中的诱导映射是同胚：

$f^B:X\approx f(X)$

则称 $f$ 为嵌入。并且当 $f$ 是嵌入时，我们常常把 $X$ 与 $f$ 的象 $f(X)$ 等同起来，从而把 $X$ 看成 $Y$ 的子空间。

命题

设 $f:X\rightarrow Y,g:Y\rightarrow X$ 均为映射，使得合成

$g\circ f=1_X:X\rightarrow X$

则 $f$ 为嵌入。

# 紧致性

# 紧致空间

定义

设 $\mathscr{D}=\{D_\alpha\}_{\alpha\in \Gamma}$ 是空间 $X$ 的一族子集， $A$ 是 $X$ 的子集，使得 $A\subset\bigcup_{\alpha\in\Gamma}D_\alpha$ ，则称 $\mathscr{D}$ 为 $A$ 在 $X$ 中的一个覆盖。

如果覆盖 $\mathscr{D}$ 中的每个成员都是开集，则我们称之为 $A$ 在 $X$ 中的一个开覆盖。若 $\Gamma$ 为有限（可数）集合，那么称 $\mathscr{D}$ 为 $A$ 在 $X$ 中的一个有限（可数）覆盖。

若 $\Lambda\subset\Gamma$ 使得 $\mathscr{D}_0=\{D_\alpha\}_{\alpha\in\Lambda}$ ，则称 $\mathscr{D}_0$ 为 $\mathscr{D}$ 的一个子覆盖，如果 $A=X$ ，则 $\mathscr{D}$ 称为 $X$ 的覆盖，省略 “在 $X$ 中” 的描述。

例

拓扑空间 $(X,\mathscr{F})$ 中所有开集的族 $\mathscr{F}$ 就是一个开覆盖。同样地， $\mathscr{F}$ 的拓扑基，所有球形邻域的集合 $\mathscr{B}$ 也是一个开覆盖。

定义

如果空间 $X$ 的任何开覆盖，都有一个有限子覆盖，确切地说，对 $X$ 的任何开覆盖 $\mathscr{V}=\{V_\alpha\}_{\alpha\in\Gamma}$ ，存在子族 $\mathscr{V}_0=\{V_{\alpha_1},...,V_{\alpha_n}\}\subset\mathscr{V}$ ，使得 $\mathscr{V}_0$ 仍是 $X$ 的覆盖，则称 $X$ 为紧致拓扑空间。

定义

设 $A$ 为空间 $X$ 的子集，如果 $A$ 作为子空间是紧致的，则称 $A$ 为 $X$ 的紧致子集（紧致子空间）。

命题

设 $A$ 是空间 $X$ 的子集，则 $A$ 是 $X$ 的紧致子集当且仅当 $A$ 在 $X$ 中的任何开覆盖都有有限子覆盖。

Heine-Borel-Lebesgue 定理

$E^1$ 的任意闭区间 $[a,b]$ 是紧致子集。

例

$E^1$ 本身并不是紧致的，事实上

$\mathscr{U}=\{(-n,n)|n=1,2,...\}$

形成了 $E^1$ 的一个开覆盖，但是 $\mathscr{U}$ 的任意有限子族 $\{(-n_1,n_1),(-n_2,n_2),...,(-n_k,n_k)\}$ 的并并不是 $E^1$ 的覆盖，即 $\mathscr{U}$ 没有有限子覆盖。

# 紧致空间的性质

命题

紧致空间的连续映射象仍是紧致的。特别，紧致性是拓扑（同胚）不变的。

命题

紧致空间的闭子集总是紧致的。

证明：设 $C$ 是紧致空间 $X$ 的闭子集， $\mathscr{U}$ 是 $C$ 在 $X$ 中的开覆盖，那么 $\mathscr{U}\cup\{X-C\}$ 就成了 $X$ 的一个开覆盖。

因为 $X$ 是紧致的，故 $\mathscr{U}\cup\{X-C\}$ 存在一个有限子覆盖。

然后可考虑这个有限子覆盖，去掉 $X-C$ 后就得到了 $\mathscr{U}$ 的一个有限子覆盖。

Bolzano-Weierstrass 性质

紧致空间的无穷子集必有聚点。

证明：设 $X$ 为紧致空间，我们证明没有聚点的任意子集 $A$ 必为有限集。因 $\acute{A}=\emptyset$ ， $A$ 是 $X$ 的闭集，由上个命题有 $A$ 是紧致的。

对每一个点 $a\in A$ ，存在 $a$ 的一个开邻域 $U_a$ ，使得 $U_a\cap A=\{a\}$ （因为 $a$ 不是 $A$ 的聚点）

于是就会有开覆盖 $\{U_a\}_{a\in A}$ 。

又因为 $A$ 是紧致的，故根据定义，其任意一个开覆盖都会有一个有限子覆盖 $\{U_a\}_{a\in A'}$ 。

而每个 $U_a$ 中只包含 $A$ 中的一个点，因为子覆盖是有限的，即 $A$ 也是有限的。

# Hausdorff 空间中的紧致性

定义

若空间的任意两个不同点有不相交的邻域，则称之为 Hausdorff 空间，也说它满足 $T_2$ 公理。

事实上，任意度量空间都是 Hausdorff 空间。

命题

设集合 $A$ 是 Hasudorff 空间 $X$ 的紧致子集， $x\in X-A$ ，则 $x$ 与 $A$ 有互不相交的邻域。从而 Hausdorff 空间的紧致子集总之闭集。

更一般地，Hausdorff 空间中任意两个不相交的紧致子集有不相交的邻域。

命题

紧致 Hausdorff 空间中的子集是紧致的，当且仅当它是闭的。

定义

若空间 $X$ 的任意两个不相交的闭集有不相交的邻域，则称 $X$ 是正规空间。

定理

紧致 Hausdorff 空间是正规空间。

命题

空间 $X$ 是正规的，当且仅当 $X$ 中的每个闭集 $F$ 的任意邻域包含 $F$ 的一个邻域的闭包。

定理

从紧致空间 $X$ 到 Hausdorff 空间 $Y$ 既单又满的映射是同胚。

# 度量空间的紧致性

定义

设 $A$ 是度量空间 $(X,\rho)$ 的子集，如果存在正数 $m$ ，对任意 $x,y\in A$ ，使得 $\rho(x,y)\leq m$ 成立，则称 $A$ 是有界的，否则称 $A$ 是无界的。

空集是约定有界的，对于有界子集 $A$ ，我们定义 $A$ 的直径是非负实数

$d(A)=\begin{cases}0&A=\emptyset\\ sup_{x,y\in A}|\rho(x,y)|&A\neq\emptyset \end{cases}$

命题

度量空间 $(X,\rho)$ 的紧致子集 $A$ 总是有界闭集。

推论

紧致空间 $X$ 到 $E^1$ 的任何连续函数均有界，而且能在 $X$ 的点达到最大值与最小值。

Lebesgue 引理

设 $\mathscr{V}=\{V_\alpha\}_{\alpha\in\Gamma}$ 是紧致度量空间 $(X,\rho)$ 的开覆盖，则存在正数 $\lambda$ （称为开覆盖 $\mathscr{V}$ 的 Lebesgue 数），使得 $X$ 中的直径小于 $\lambda$ 的任何子集 $A$ 必包含于 $\mathscr{V}$ 的某个成员 $V_\alpha$ 中。

定理

从紧致度量空间 $(X,\rho)$ 到度量空间 $(X',\rho')$ 的连续映射 $f$ 总是一致连续的，即对于任意正数 $\varepsilon$ ，存在正数 $\delta$ 使得 $\rho(x,y)<\delta\Rightarrow\rho'(f(x),f(y))<\varepsilon$ 。

# 连通性

# 连通空间

定义

设 $A$ 与 $B$ 是空间 $X$ 的非空子集，且 $(\bar{A}\cap B)\cup(A\cap\bar{B})=\empty$ ，则称 $A$ 与 $B$ 为 $X$ 的一对分离子集。如果 $X$ 不是一对分离子集的并，则称 $X$ 为连通的，否则称 $X$ 为非连通的。

例

$E^1$ 中的区间 $(0,1),(1,2)$ 就是一对分离区间。因为 $\overline{(0,1)}=[0,1]$ ，注意这里是在求闭包加入聚点而不是求补。而 $(0,1),[1,2)$ 就不是分离子集。

例

实直线 $E^1=(-\infty,\infty)$ 是连通空间。

定理

设 $X$ 是空间，则下列陈述彼此等价

$X$ 是连通的
$X$ 不是两个不相交非空开集的并
$X$ 不是两个不相交非空闭集的并
$X$ 中只有 $X$ 与 $\emptyset$ 既开又闭
对任意连续函数f:X\rightarrow E^1,f(X)\neq\

# 子集的连通性

定义

空间 $X$ 的子集 $A$ 称为 $X$ 的连通子集，如果 $A$ 作为 $X$ 的子集是连通的。

命题

连通空间的连续映射象是连通集。

连通性是同胚不变的，即若 $X\approx Y$ ，则 $X$ 连通当且仅当 $Y$ 连通。

设 $Y$ 为空间 $X$ 的子空间， $Z\subset Y$ ，则 $Z$ 是 $Y$ 的连通子集当且仅当 $Z$ 是 $X$ 的连通子集。

引理：

设 $Y$ 为 $X$ 的非空连通子集， $A$ 与 $B$ 是 $X$ 中的一对分离子集，使得 $Y\subset A\cup B$ 。则 $Y\subset A$ 或 $Y\subset B$ 。

命题

在空间 $X$ 中，设 $Y$ 是连通子集，且 $Y\subset Y_1\subset\bar{Y}$ ，则 $Y_1$ 也是连通的。特别地，若 $Y$ 连通，则 $\bar{Y}$ 也是连通的。

例

实数轴上任意一个区间都是连通的。事实上。任意一个开区间还与 $E^1$ 同胚。

命题

设 $Y$ 是空间 $X$ 的连通子集 $\{Y_\alpha\}_{\alpha\in\Gamma}$ 是 $X$ 的一族连通子集，使得 $Y_\alpha\cap Y\neq\emptyset$ ，对一切 $\alpha\in\Gamma$ 成立。则 $Y\cup(\bigcup_{\alpha\in\Gamma}Y_\alpha)$ 仍是连通的。

定义

若 $A$ 是空间 $X$ 的连通子集，而且又不是别的连通集的真子集，则称 $A$ 为 $X$ 的极大连通子集或连通分支。

命题

$X$ 的连通分支总是闭集。不同的连通分支彼此分离。

# 道路连通性

定义

设 $f:I\rightarrow X$ 是映射， $f(i)=x_i,i=0,1$ 。则称 $f$ 为 $X$ 中连接 $x_0$ 和 $x_1$ 的道路。 $x_0,x_1$ 分别称为道路的起点和终点。

如果 $X$ 中任意两点都有 $X$ 中道路连接，则称 $X$ 为道路连通的。

而映射 $\bar{f}(t)=f(1-t)$ 则被称为 $f$ 的逆道路。

例

欧式空间中的子集 $X$ 称为凸集如果对任意 $x,y\in X$ 由点 $x$ 与 $y$ 确定的闭线段

$[x,y]=\{(1-t)x+ty|t\in I\}$

整个包含于 $X$ 。

现在，我们证明凸集 $X$ 是道路连通的。定义 $f(t)=(1-t)x+ty$ 易见 $f(I)\subset X$ ，并且 $f$ 是连续的，从而 $f$ 是道路。

命题

设 $\sigma,\tau$ 是 $X$ 中的道路，使得

$\sigma(1)=y=\tau(0)$

则由下式

$(\sigma*\tau)(t)=\begin{cases}\sigma(2t)&0\leq t\leq\frac{1}{2}\\ \tau(2t-1)&\frac{1}{2}\leq t\leq 1 \end{cases}$

定义的 $\sigma*\tau:I\rightarrow X$ 是从 $\sigma(0)=x$ 到 $\sigma(1)=z$ 的道路。称为 $\sigma$ 和 $\tau$ 的积。

命题

道路连接空间的连续映射象仍是道路连通的。特别地，道路连通性是拓扑不变的。

定义

若 $A$ 是空间 $X$ 的道路连通子集，又不是别的道路连通子集的真子集，则称 $A$ 为 $X$ 的极大道路连通子集或道路连通分支。

命题

空间的每个非空道路连通子集恰包含于一个道路的连通分支中。每个空间都是互不相交的道路连通分支的并。

例

考虑这样一个点集 $X=Y\cup Z$ :

$Y=\{(0,t)\in E^2|-1\leq t\leq 1\}\\ Z=\{(x,sin\frac{\pi}{x})\in E^2|0<x\leq 1\}$

它是连通的，但不是道路连通的。

$E^1$ 与 $E^2$ 是不同胚的。

# 乘积空间

# 乘积空间与乘积拓扑

命题

$E^n$ 的子集族

$\mathscr{B}=\{U_1\times U_2\times U_3\times...\times U_n\}$

其中 $U_i$ 是 $E^1$ 的开集。那么该子集族是 $E^n$ 的一个拓扑基。

这个想以下，本质上就是 $n$ 维欧氏空间的坐标是 $n$ 个一维空间的直积。

定义

对给定的 $n$ 个拓扑空间 $(X_i,\mathscr{F}_i)$ ，选取点集的直积 $X=X_1\times...\times X_n$ 的子集族：

$\mathscr{B}=\{U_1\times...\times U_n|U_i\in\mathscr{F}_i\}$

是集合 $X$ 的一个拓扑基，被称为乘积拓扑。 $X_i$ 被称为拓扑积 $X$ 的第 i 个坐标（因子）空间。

例

圆周 $S^1$ 与单位区间 $I$ 的拓扑积是以 $S^1$ 为准线， $I$ 为母线的圆柱侧面，如下图：

然后可以考虑 $V$ 是 $I$ 上的一个开集， $U$ 是 $S^1$ 上的一个开集，那么 $U\times V$ 就是拓扑积 $S^1\times I$ 上的一个开集。

例

$S^1\times\{0\}$ 和 $S^1\times\{1\}$ 分别是上个例子中圆柱的上底面和下底面。

例

环面是两个圆周 $S^1$ 的拓扑积：

整个环面上的点都可以用两个实数坐标确定。实际上，作为欧氏空间 $E^3$ 的子空间，它与 $E^1\times E^1$ 是同胚的。

# 积空间的连续性

首先，我们描述坐标空间与积空间之间的映射，令

$p_1:X\times Y\rightarrow X,p_2:X\times Y\rightarrow Y$

分别表示拓扑积 $X\times Y$ 到第一个坐标空间 $X$ 和第二个坐标空间 $Y$ 的投影。设 $x_0,y_0$ 分别是 $X,Y$ 中的给定点，还可以定义

$i_1(x)=(x,y_0),i_2(y)=(x_0,y)$

命题

投影 $p_1$ 和 $p_2$ 为满的开映射。

$i_1,i_2$ 均为映射，且分别把 $X$ 和 $Y$ 嵌入 $X\times Y$ 为子空间 $X\times\{y_0\}$ 与 $\{x_0\}\times Y$ 。

例如实数轴 $E^1$ 可以嵌入欧式平面 $E^2$ 成为平行于坐标轴的直线。

下面这个命题讨论了任意空间 $Z$ 到拓扑积空间 $X\times Y$ 的函数 $f:Z\rightarrow X\times Y$ 在什么情况下连续的问题，它使得我们把问题简化为验证每个坐标函数是否连续。

命题

函数 $f:Z\rightarrow X\times Y$ 连续，当且仅当坐标函数

$p_1\circ f:Z\rightarrow X,p_2\circ f:Z\rightarrow Y$

均连续。

然而，如果有函数是从积空间到另一个空间 $f:X\times Y\rightarrow Z$ ，而 $f\circ i_1$ 和 $f\circ i_2$ 在 $x_0,y_0$ 处均连续，并不能推出 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续。反例：

$f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2}&(x,y)\neq 0\\0&(x,y)=0\end{cases}$

在 $(0,0)$ 处有 $(f\circ i_1)=f(x,0),(f\circ i_2)=f(0,y)$ 都是单独分别连续的，但是 $f$ 在 $(0,0)$ 处并不连续。因为可以沿着 $y=kx$ 这条线逼近原点，此时 $f(x,kx)\equiv \frac{k}{1+k^2}$ 不为 0。

命题

设 $f_i:X_i\rightarrow Y_i$ 为映射，则可以定义

$(f_1\times f_2)(x_1,x_2)=(f_1(x_1),f_2(x_2))$

则 $f_1\times f_2:X_1\times X_2\rightarrow Y_1\times Y_2$ 也是映射，称为 $f_1$ 与 $f_2$ 的拓扑积。由此可得

$X_1\approx Y_1,X_2\approx Y_2\Rightarrow X_1\times X_2\approx Y_1\times Y_2$

# 有限可积性质

定义

如果有限个拓扑空间 $X_1,...,X_n$ 具有性质 $P$ ，能够推出积空间 $X_1\times...\times X_n$ 也有性质 $P$ ，那么称 $P$ 为有限可积性质。

命题

$X\times Y$ 是 Hausdorff 空间，当且仅当 $X,Y$ 均为 Hausdorff 空间。

$X\times Y$ 是连通空间，当且仅当 $X,Y$ 均为连通空间。

$X\times Y$ 是道路连通空间，当且仅当 $X,Y$ 均为道路连通空间。

$X\times Y$ 是紧致的，当且仅当 $X,Y$ 均为紧致的。

命题

设 $a\in X,B$ 是 $Y$ 的紧致子集， $W$ 是 $\{a\}\times B$ 在 $X\times Y$ 中的邻域。则存在 $X$ 与 $Y$ 的开集 $U,V$ 使得 $\{a\}\times B\subset U\times V\subset W$ 。

最后，我们指出 $E^n$ 内有界闭集与紧致性的等价性：

$E^n$ 的子集是紧致的，当且仅当它是有界闭集。

# 粘合空间

# 粘合拓扑

在这里可以先考虑一个例子，这个例子很好地说明了同胚空间的用处。考虑下图所示平面双摆

我们可以用 $(\varphi,\psi)$ 唯一地确定摆锤的一个位置，而且特别地， $(\varphi+2n\pi,\psi+2m\pi)$ 和 $(\varphi,\psi)$ 对应同一个位置。因此我们考虑用一个边长为 $2\pi$ 的正方形，同时粘合两组对边组成的一个环面来描述摆锤的位置。

而同胚的概念，就可以形象地理解为，相近的摆锤的位置对应的点，在环面上也是相近的。

定义

设 $(X,\mathscr{F})$ 为拓扑空间， $\sim$ 是集合 $X$ 中的一个等价关系， $p:X\rightarrow X/\sim$ 为 $X$ 到商集 $X/\sim$ 的自然投射，那么定义商集 $X/\sim$ 的子集族：

$\mathscr{H}\sim=\{W\subset X/\sim|p^{-1}(W)\in\mathscr{F}\}$

则 $\mathscr{H}\sim$ 是商集 $X/\sim$ 上的拓扑，称为 $\mathscr{F}$ 关于等价关系 $\sim$ 的粘合拓扑（商拓扑）， $(X/\sim,\mathscr{H}\sim)$ 称为 $(X,\mathscr{F})$ 关于等价关系 $\sim$ 的粘合空间（商空间）。

自然映射 $p:X\rightarrow X/\sim$ 是满映射，称为粘合映射。

更一般地，如果 $p:X\rightarrow Y$ 是满映射，使得 $Y$ 的子集 $W$ 是开集当且仅当 $p^{-1}(W)$ 是 $X$ 的开集，则我们把这样的 $p$ 称为粘合映射， $Y$ 的拓扑称为 $p$ 在 $Y$ 上诱导的粘合拓扑。

命题

设 $p:X\rightarrow Y$ 为粘合映射， $f:X\rightarrow Z$ 为映射，使得对任意 $y\in Y$ ， $f[p^{-1}(y)]$ 是 $Z$ 的独点集，即 $f\circ p^{-1}$ 为函数，则函数 $f\circ p^{-1}:Y\rightarrow Z$ 是连续映射，且 $g\circ p=f$ ，这可以标识为以下交换图：

命题

设 $f:X\rightarrow Y$ 为粘合映射， $K$ 为紧致的 Hausdorff 空间，则 $f$ 与恒等映射 $1_K$ 的拓扑积 $f\times 1_K:X\times K\rightarrow Y\times K$ 为粘合映射。

# 例子

例

设 $A$ 为空间 $X$ 的子集，定义 $X$ 上的等价关系为， $A$ 中的点相互等价， $X-A$ 中的点互不等价，即只跟自己等价。如此得到的空间 $X/\sim$ 记作 $X/A$ ，形象化地理解为 “把 $A$ 中的点捏成一个点”。

譬如 $I/\{0,1\}$ 可以看作把单位区间两端捏在一起而成，并且 $I/\{0,1\}\approx S^1$ 。一般地，有

$I^n/\dot{I}^n\approx B^n/S^{n-1}\approx S^n$

例（莫比乌斯带）

从 $E^2$ 内的长方形 $X=[0,8]\times[0,1]$ 开始，定义 $X$ 中的等价关系为： $(0,y)\sim(8,1-y),y\in I$ ，此外每个点与自己等价。所得的粘合空间就为莫比乌斯带。

例（克莱因瓶）

从 $E^2$ 内的正方形 $X=I^2$ 开始，定义 $X$ 中的等价关系为 $(0,y)\sim(1,y),y\in I;(x,0)\sim(1-x,1),x\in I$ ，此外每个点都与自己等价。所得空间为克莱因瓶。相比于环面，在把正方形卷成圆柱后，克莱因瓶是把上下底面方向相反地粘在一起，导致必然会有曲面相交。

# 基本群

# 映射的同伦与空间的同伦型

# 映射的同伦

定义

设 $f_0,f_1:X\rightarrow Y$ 是两个映射，如果存在连续映射 $H:X\times I\rightarrow Y$ 使得

$H(x,t)=f_t(x),x\in X,t=0,1$

就说 $f_0$ 同伦于 $f_1$ ，记作 $f_0\stackrel{H}{\simeq}f_1:X\rightarrow Y$ ，或简记为 $f_0\stackrel{H}{\simeq}f_1$ ，甚至记为 $f_0\simeq f_1$ 。其中 $H$ 称为 $f_0$ 到 $f_1$ 的一个同伦或伦移。

理解同伦关系可以把 $t$ 理解为时间，把映射理解为空间路径。即可以在一定时间内，从形状 1，连续地变化为形状 2。

例

设 $C$ 为欧氏空间内的一个凸集， $f,g$ 是任意空间到 $C$ 的映射，定义 $H:X\times I\rightarrow C$ 为

$H(x,t)=(1-t)f(x)+tg(x)$

则 $H$ 是 $f$ 到 $g$ 的一个同伦。特别地，若 $g$ 是常值映射，则 $f$ 同伦于常值映射，被称为是零伦的，写作 $f\simeq 0$ 。

定理

同伦关系 $\simeq$ 是 $Y^X$ 上的等价关系。

证明：自反性，可以构造 $H(x,t)\equiv f(x)$ ，则 $f\stackrel{H}{\simeq}f$ 。

对称性，可构造同伦的逆 $\bar{H}(x,t)=H(x,1-t)$ ，即时间倒流的形变。

传递性，可以先进行形变 1，再进行形变 2，即：

$H(x,t)=\begin{cases}H_1(x,2t)&0\leq t\leq\frac{1}{2}\\ H_2(x,2t-1)&\frac{1}{2}\leq t\leq 1 \end{cases}$

考虑粘接引理，它是一个连续映射。故证毕。

引理

若 $f_0\simeq f_1:X\rightarrow Y,g_0\simeq g_1:Y\rightarrow Z$ 则 $g_0\circ f_0\simeq g_1\circ f_1:X\rightarrow Z$ 。

# 空间的同伦型

定义

若有映射 $f:X\rightarrow Y$ 与 $g:Y\rightarrow X$ 使得 $g\circ f=1_X,f\circ y=1_Y$ ，则称映射 $f$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的同伦等价， $g$ 称为 $f$ 的同伦逆，并且也说 $X$ 和 $Y$ 是同伦等价的，或说 $X$ 与 $Y$ 有相同的同伦型，记作 $f:X\simeq Y$ 。

在同伦等价映射下保持不变的性质被称为同伦不变性质，

定理

同伦关系 $\simeq$ 是拓扑空间上的等价关系。

例

欧式空间的凸集与独点空间有相同的同伦型。事实上，若 $X$ 是凸集， $a\in X$ ，令 $i:\{a\}\hookrightarrow X$ 是内射， $r:X\rightarrow\{a\}$ 是常值映射，则有 $r\circ i = 1_{\{a\}}$ 。

又由于任意空间到欧氏空间凸集的映射都是同伦的（见前例），故有 $r\circ i\simeq 1_X$ 。

例

对 $n\geq 1$ ， $E^n-\{O\}\simeq S^{n-1}$ 。可以定义

$i:S^{n-1}\rightarrow E^n-\{O\},i(x)=x\\ r:E^n-\{O\}\rightarrow S^{n-1},r(x)=\frac{x}{||x||}\\$

于是有 $r\circ i=1_{S^{n-1}}$ 。那么考虑证明 $i\circ r\simeq 1_{E^n-\{O\}}$ ：

$H:(E^n-\{O\})\times I\rightarrow E^n-\{O\}\\ H(x,t)=tx+(1-t)\frac{x}{||x||}$

在二维情况下，可以理解为运动趋势：

这里也可以理解为什么要挖去原点。因为尽管可以构造 $H(0,t)$ 向某个方向移动，但一定会导致在 $x=0$ 处不是连续的。

定义

设 $A$ 是 $X$ 的子空间， $i:A\hookrightarrow X$ 表示内射，如果存在映射 $r:X\rightarrow A$ ，使得 $r\circ i=1_A$ ，则 $r$ 称为 $X$ 到 $A$ 的保核收缩（映射）， $A$ 称为 $X$ 的收缩核。

如果除此之外还有同伦 $1_X\stackrel{H}{\simeq}i\circ r$ ，则 $H$ 称为 $X$ 到 $A$ 的一个形变收缩， $A$ 称为 $X$ 的形变收缩核。

假如同伦还满足条件 $\forall a\in A,t\in I,H(a,t)=a$ ，则称 $H$ 为 $X$ 到 $A$ 的一个强形变收缩， $A$ 称为 $X$ 的强形变收缩核。

# 零伦与可缩空间

定义

与独点空间同伦型相同的空间称为可缩的。

命题

考虑一种锥形。对任意空间 $X$ ，粘合空间 $X\times I/X\times\{1\}$ 被称为 $X$ 上的锥形，记作 $CX$ 。对应 $x\rightarrow [x,0]$ 把 $X$ 嵌成锥形 $CX$ 的闭子空间，称为 $CX$ 的底， $X\times\{1\}$ 的粘合象称为 $CX$ 的顶点。

这样的锥形都是可缩的。

同时， $f\simeq 0$ 当且仅当 $f$ 可以扩张到锥形上。

命题

以下短语等价

$X$ 可缩
$1_X\simeq 0$
对任意空间 $Y$ 和映射 $f:X\rightarrow Y,f\simeq 0$
对任意空间 $Z$ 和映射 $g:Z\rightarrow X,g\simeq 0$
$X$ 是锥形 $CX$ 的收缩核

# 相对同伦

设 $A$ 是空间 $X$ 的子集，则有序偶 $(X,A)$ 称为空间偶。又若 $f:X\rightarrow Y$ 把子集 $A$ 映射到 $Y$ 的子集 $B$ ，则我们把它记为

$f:(X,A)\rightarrow(Y,B)$

称为空间偶到空间偶的映射。若 $f:(X,A)\rightarrow (Y,B),g:(Y,B)\rightarrow(X,A)$ 均为映射，使得 $g\circ f=1_X,f\circ g=1_Y$ ，则称 $f$ 为空间偶的同胚，记作

$f:(X,A)\approx (Y,B)$

若 $F:X\times I\rightarrow Y$ 是同伦，使得 $F(A\times I)\subset B$ ，则记作 $F:(X\times I,A\times I)\rightarrow(Y,B)$ 或 $F:(X,A)\times I\rightarrow (Y,B)$ ，称为空间偶 $(X,A)$ 到 $(Y,B)$ 间的同伦。

又若

$F(X,0)=f_0(x),F(x,1)=f_1(x)$

则称 $F$ 是偶的映射 $f_0$ 到 $f_1$ 的同伦，记作

$f_0\stackrel{F}{\simeq}f_1:(X,A)\rightarrow(Y,B)$

更进一步，如果

$\forall a\in A,t\in I,F(a,t)=f_0(a)=f_1(a)$

则称为相对于 $A$ ， $f_0$ 同伦于 $f_1$ 记作 $f_0\stackrel{F}{\simeq}f_1:X\rightarrow Y\;rel\;A$ 。

# 基本群的定义

# 道路类的积

首先，显然地，道路的积并不满足结合律，因为它并不是三等分，而是 1/4，1/4，1/2 这样合成的三条路。

为了解决这个问题，用 $rel\;\dot{I}$ 的同伦类来代替道路：

定义

设 $f_0,f_1:I\rightarrow X$ 是两条道路，使得 $f_0|_i=f_1|_i$ 即 $f_0(0)=f_1(0),f_0(1)=f_1(1)$ 。如果 $f_0\simeq f_1:I\rightarrow X\;rel\;\dot{I}$ ，则称 $f_0$ 与 $f_1$ 是等价的道路。记作 $f_0\stackrel{.}{\simeq}f_1$ ，仍用 $[f_0]$ 表示 $f_0$ 所在的等价类，称为 $f_0$ 的道路类。

根据定义， $f_0\stackrel{.}{\simeq}f_1$ 意味着有一个映射 $F:I\times I\rightarrow X$ 使得

$F(t,0)=f_0(t),F(t,1)=f_1(t)\\ F(0,s)=f_0(0),F(1,s)=f_0(1)$

直观意义如图

可以看作 $F$ 把一个单位正方形，连续地映射到了一个纺锤形。

例

设 $X$ 是 $E^n$ 中的凸集， $x_0,x_1\in X,\alpha,\beta$ 是 $X$ 中从 $x_0$ 到 $x_1$ 的两条道路，则 $\alpha\stackrel{.}{\simeq}\beta$ 。定义的 $H:I\times I\rightarrow X$ 为

$H(t,s)=(1-s)\alpha(t)+s\beta(t)$

引理

若 $f_0\stackrel{.}{\simeq}f_1,g_0\stackrel{.}{\simeq}g_1,f_0(1)=g_0(0)$ ，则 $f_0*g_0\stackrel{.}{\simeq}f_1*g_1$ 。

证明如图

引理

设 $\alpha,\beta,\gamma$ 是 $X$ 中的三条路，满足 $\alpha(1)=\beta(0),\beta(1)=\gamma(0)$ ，则有 $([\alpha][\beta])[\gamma]=[\alpha]([\beta][\gamma])$ 。

证明：首先，按定义有

$((\alpha*\beta)*\gamma)(t)=\begin{cases} \alpha(4t),&0\leq t\leq\frac{1}{4}\\ \beta(4t-1),&\frac{1}{4}\leq t\leq \frac{1}{2}\\ \gamma(2t-1),&\frac{1}{2}\leq t\leq 1 \end{cases}\\ (\alpha*(\beta*\gamma))(t)=\begin{cases} \alpha(2t),&0\leq t\leq\frac{1}{2}\\ \beta(4t-2),&\frac{1}{2}\leq t\leq \frac{3}{4}\\ \gamma(4t-3),&\frac{3}{4}\leq t\leq 1 \end{cases}$

然后怎么构造同伦 $H:I\times I\rightarrow X$ 呢？可以分析图

理解一下这个图，正方形的上边，即 $s=1$ 时，有 $H(t,1)=(\alpha*(\beta*\gamma))(t)$ 。即上边对应了 $(\alpha*(\beta*\gamma))$ 这条道路，也可以看到 $\alpha,\beta,\gamma$ 分别占 $t$ 方向横坐标的边长为 $1/2,1/4,1/4$ 。

然后正方形的下边，即 $s=0$ ，则很显然是 $()(\alpha*\beta)*\gamma)$ 这条路。

那么我们得想办法构造一个连续的变化过程，从 “走 1/2 的 $\alpha$ ，走 1/4 的 $\beta$ ，走 1/4 的 $\gamma$ ” 变化到 “走 1/4 的 $\alpha$ ，走 1/4 的 $\beta$ ，走 1/2 的 $\gamma$ ”

而随着 $s$ 的变化，就是道路的变化。对于任给一个 $s$ ，我们需要观察 $\alpha,\beta,\gamma$ 分别应该走多少比例。

可以构造出：

$H(t,s)=\begin{cases} \alpha(\frac{4t}{1+s}),&0\leq t\leq\frac{1+s}{4}\\ \beta(4t-s-1),&\frac{1+s}{4}\leq t\leq\frac{2+s}{4}\\ \gamma(\frac{4t-s-2}{2-s}),&\frac{2+s}{4}\leq t\leq 1 \end{cases}$

即前 $\frac{1+s}{4}$ 把 $\alpha$ 走完，再在 $\frac{1}{4}$ 内把 $\beta$ 走完，再在 $\frac{2-s}{4}$ 内把 $\gamma$ 走完。

# 基本群的构成

引理

$[e_{\alpha(0)}][\alpha]=[\alpha]=[\alpha][e_{\alpha(1)}]$

其中， $e_x$ 表示 $f(t)\equiv x$ 的常值映射，即单点道路。

$[\alpha][\bar{\alpha}]=[e_{\alpha(0)}],[\bar{\alpha}][\alpha]=[e_{\alpha(1)}]$

其中， $\bar{\alpha}$ 表示 $\alpha$ 的逆道路。

在空间 $X$ 中，选取一个基点 $x$ ，所有 $X$ 中起点和终点均为 $x$ 的闭路的集合记作 $\Omega(X,x)$ 。其中的道路彼此都可以作道路积。

集合 $\Omega(X,x)$ 按前述等价关系分成等价类，即闭路的等价类，称为闭路类，所有这种闭路类的集合记作 $\pi_1(X,x)$ 。

定理

在道路类的积这种运算下，集合 $\pi_1(X,x_0)$ 是一个群，称为空间 $X$ 以基点 $x_0$ 为基点的基本群。

# 基点的改变

设 $x_0,x_1$ 是空间 $X$ 中的两个点，分别取它们作为基点，则得到了两个群 $\pi_1(X,x_0),\pi_2(X,x_1)$ ，它们是彼此同构的！

考虑用 $X$ 中的一条道路 $\omega:I\rightarrow X$ 连接 $x_0,x_1$ 两点，使得 $\omega(0)=x_0,\omega(1)=x_1$ ，下面利用 $\omega$ 作出一个同构

$[\omega]_\#:\pi_1(X,x_1)\cong \pi_2(X,x_0)$

我们需要定义：

$[\omega]_\#([a])=[\omega][a][\bar{\omega}],[a]\in\pi_1(X,x_1)$

下面来证明它是个同态映射：

$[\omega]_\#([\alpha][\beta])=[\omega]([\alpha][\beta])[\bar{\omega}]\\ =[\omega][\alpha][e_{x_1}][\beta][\bar{\omega}]\\ =[\omega][\alpha][\omega][\bar{\omega}][\beta][\omega]\\ =([\omega][\alpha][\bar{\omega]})([\omega][\beta][\omega])\\ =[\omega]_\#([\alpha])[\omega]_\#([\beta])$

其中， $[e_{x_1}]$ 是 $\pi_1(X,x_1)$ 中的单位元。

下面证明它既单又满：

设 $\omega,\sigma$ 都是 $X$ 中的道路，满足 $\omega(0)=x_0,\omega(1)=x_1=\sigma(0),\sigma_1=x_2$ 。考虑道路类 $[\omega*\sigma]$ 定义的同态 $[\omega*\sigma]_\#：\pi_1(X,x_2)\rightarrow\pi_1(X,x_0)$ ，

可以证明 $[\omega*\sigma]_\#=[\omega]_\#\circ[\sigma]_\#$ ：

$[\omega*\sigma]_\#([\alpha])=[\omega*\sigma][\alpha][\overline{\omega*\sigma}]\\ =[\omega*\sigma][\alpha][\bar{\sigma}*\bar{\omega}]\\ =([\omega][\sigma])[\alpha]([\bar{\sigma}][\bar{\omega}])\\ =[\omega]([\sigma][\alpha][\bar{\sigma}])[\bar{\omega}]\\ =[\omega][\sigma]_\#[\alpha][\bar{\omega}]\\ =[\omega]_\#\circ[\sigma]_\#[\alpha]$

有了这个性质，我们可以取 $\sigma=\bar{\omega}$ ，于是就会有：

$[\omega]_\#\circ[\bar{\omega}]_\#=1_{\pi_1(X,x_0)}\\ [\bar{\omega}]_\#\circ[\omega]_\#=1_{\pi_1(X,x_0)}$

由此可以推出 $[\omega]_\#$ 是个既单又满的映射√。

因此 $\pi_1(X,x_0)\cong\pi_1(X,x_1)$ 。

定理

设 $\omega$ 是道路连通空间 $X$ 中的道路， $\omega(0)=x_0,\omega(1)=x_1$ ，则 $[\omega]$ 确定了一个同构，它不依赖于代表元 $\omega$ 的选取：

$[\omega]_\#:\pi_1(X,x_1)\cong\pi_1(X,x_0)$

例

独点空间的基本群是平凡群（通常记为 0）。事实上，从 $I$ 到独点空间的映射是唯一的（道路唯一），从而基本群只有一个元素，即平凡群。

# 基本群的计算实例

# 基本群是同伦型不变量

设 $f:X\rightarrow Y$ 是映射， $x_0\in X$ 与 $y_0=f(x_0)\in Y$ 分别选作空间 $X$ 与 $Y$ 的基点以后把这种映射记为 $f:(X,x_0)\rightarrow (Y,y_0)$ 并称之为保基点的。

于是我们可以得到一个自然的同态 $f_\#:\pi_1(X,x_0)\rightarrow\pi_1(X,x_1)$

$f_\#[\alpha]=[f\circ\alpha]$

实际上有

$f\circ(\alpha*\beta)=(f\circ\alpha)*(f\circ\beta)$

故为同态。

此外还有 $(f\circ g)_\#=f_\#\circ g_\#$ 。

定理

若 $X,Y$ 均为道路连通空间，且 $f:X\simeq Y$ ，则

$f_\#:\pi_1(X,x_0)\cong\pi_2(Y,f(x_0))$

其中 $f_\#([\alpha])=[f\circ\alpha]$ 。

该定理说明，基本群是道路连通空间的同伦不变量√。

# $S^1$ 的基本群

考虑指数函数 $p:E^1\rightarrow S^1$ ：

$p(t)=e^{2\pi it},t\in E^1$

它的作用实际上是 “把实数轴绕在 $S^1$ 圆周上 “，而且每个长度为 $1$ 的区间 $[a,a+1]$ 都正好在圆周上绕了一圈。

命题

若 $p$ 是上述指数函数，则有

$p(t_1+t_2)=p(t_1)\cdot p(t_2)$
p^{-1}(1)=\mathbb
$p_{(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})}(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})\approx S^1-\{-1\}$

定义

若 $\sigma:I\rightarrow S^1$ 与 $\tilde{\sigma}:I\rightarrow E^1$ 分别是 $S^1$ 与 $E^1$ 中的道路，使得 $\sigma=p\circ\tilde{\sigma}$ ，则称 $\tilde{\sigma}$ 为道路 $\sigma$ 在 $\tilde{\sigma}(0)$ 处的提升（道路）。

若 $F:I\times I\rightarrow S^1$ 与 $\tilde{F}:I\times I\rightarrow E^1$ 分别是 $I$ 到 $S^1$ 与 $E^1$ 的同伦（可以看作是道路间的同伦），使得 $F=p\circ\tilde{F}$ ，那么称 $\tilde{F}$ 为同伦 $F$ 在 $\tilde{F}(0,0)$ 处的提升（同伦）。

提升引理

若 $\sigma:I\rightarrow S^1$ 是以 $1$ 为起点的一条道路，则 $\sigma$ 在 $0$ 处有唯一的提升道路 $\tilde{\sigma}:I\rightarrow S^1$ 。

若 $F:I\times I\rightarrow S^1$ 是同伦使得 $F(0,0)=1$ ，则 $F$ 在 $0$ 处有唯一的提升同伦 $\tilde{F}:I\times I\rightarrow E^1$ 。

现在，对于任意 $\alpha\in\Omega(S^1,1)$ ，在 $0\in E^1$ 处可唯一地提升为 $\tilde{\alpha}:I\rightarrow E^1$ 使得 $\tilde{\alpha}(0)=0$ ，且 $\tilde{\alpha}(1)\in p^{-1}(1)=\mathbb{Z}$ 。

我们把正数 $\tilde{\alpha}(1)$ 称为闭路 $\alpha$ 的度数，记作 $deg\;\alpha$ 。如果 $deg\;\alpha$ 是正整数，则可以理解为 $\alpha$ 在 $S^1$ 中从 $1$ 出发，可能顺时针，逆时针交替，总之最后相当于逆时针旋转了 $deg\;\alpha$ 圈后回到了 $1$ 。当然， $deg\;\alpha$ 是负的话，就是顺时针旋转了几周。

若 $\alpha\stackrel{F}{\simeq}\alpha'\;rel\;\dot{I}$ ，则 $F(0,0)=1$ ，由同伦提升引理， $F$ 在 $0$ 处有唯一的提升 $\tilde{F}$ 。并且 $\tilde{\alpha}(t)=\tilde{F}(t,0)$ ， $\tilde{\alpha'}(t)=\tilde{F}(t,1)$ 所确定的道路 $\tilde{\alpha},\tilde{\alpha'}$ 恰好是道路 $\alpha,\alpha'$ 的提升。

而道路 $\tilde{\sigma}(t)=\tilde{F}(0,t),\tilde{\tau}(t)=\tilde{F}(1,t)$ 所确定的道路 $\tilde{\sigma},\tilde{\tau}$ 恰是常值道路 $e_{\alpha(0)},e_{\alpha(1)}$ 的提升，根据提升引理，可知 $\tilde{\sigma},\tilde{\tau}$ 也是常值道路

画个图表示下：

定理

有同构 $deg:\pi_1(S^1,1)\cong\mathbb{Z}$ ，其中 $deg([\alpha])=deg\;\alpha,[\alpha]\in\pi_1(S^1,1)$ 。

注意到，若 $\alpha\stackrel{.}{\simeq}\alpha'$ ，有 $deg\;\alpha=deg\;\alpha'$ 。

证明：

考虑 $deg\;\alpha=n,deg\;\beta=m$ ，则有 $\tilde{\alpha}(1)=n,\tilde{\beta}(1)=m$ 。定义一个新道路：

$\tilde{\gamma}(t)=\begin{cases} \tilde{\alpha}(2t)&0\leq t\leq\frac{1}{2}\\ \tilde{\alpha}(1)+\tilde{\beta}(2t-1)&\frac{1}{2}\leq t\leq 1 \end{cases}$

易见 $p\circ\tilde{\gamma}=\alpha*\beta$ ，而 $\tilde{\gamma}(0)=0$ ，故 $\tilde{\gamma}$ 是 $\alpha*\beta$ 在 $0$ 处的提升。

而 $deg\;\tilde{\gamma}=\tilde{\gamma}(1)=n+m$ ，故 $deg\;[\alpha][\beta]=deg\;(\alpha*\beta)=n+m=deg\;[\alpha]+deg\;[\beta]$ 。

故 $deg$ 是同态映射。

其次，对任意整数 $n\in\mathbb{Z}$ ，可定义 $\sigma\in\Omega(S^1,1)$ 为

$\sigma(t)=e^{2\pi nit},t\in I$

则 $deg\;[\sigma]=n$ 。事实上，由

$\tilde{\sigma}(t)=nt,t\in I$

定义的道路为 $\sigma$ 在 $0$ 处的提升， $\tilde{\sigma}(1)=n$ ，因此 $deg$ 是满同态。

关于是单同态的证明，可以直观考虑下。首先 $E^1$ 是单连通的， $E^1$ 中任意两条路径，只要它们首尾都相同，就是同伦等价的。

那么，如果 $\pi_1(S^1,1)$ 中的两个元素 $[\alpha]\neq[\beta]$ ，那么可以推出它们一定终点不同。否则可以把两个都提升下，就同伦等价了。

根据上面的结果，可以立刻得知莫比乌斯带与圆柱面 $S^1\times I$ 的基本群都是整数加法群。

事实上，莫比乌斯带与 $S^1\times I$ 都同伦等价于 $S^1$ 。

# 环面的基本群

命题

设 $X$ 与 $Y$ 为道路连通空间，则

$\forall x_0\in X,y_0\in Y,\\ \pi_1(X\times Y,(x_0,y_0))\cong\pi_1(X,x_0)\times \pi_2(Y,y_0)$

于是令 $X=Y=S^1$ 代入，可得

$\pi_1(S^1\times S^1,(x_0,y_0))\cong\pi_1(S^1,x_0)\times\pi_1(S^1,y_0)\cong\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$

于是环面基本群同构于 $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ 。

# 基本群的应用

# 区别空间的同伦型

举个栗子

$S^1$ 的基本群同构于 $\mathbb{Z}$ 。

$S^2$ 的基本群同构于 $0$ 。这怎么理解呢？实际上 $S^2$ 的基本群中，每一条路径都是同伦等价于独点的。因为 $S^2$ 是个凸集，其表面上的任意一个闭路都能缩成一个点。

因此 $S^1\times S^1$ 并不同伦于 $S^2$ ，因为它们的基本群不同构，而基本群是同伦不变量。

故环面和三维球面不同伦。

# 多面体及其单纯同调群

# 欧式空间中的超平面与单纯形

# 超平面

定义

设 $V^q$ 是 $n$ 维欧氏空间 $E^n$ 的 $q$ 维向量子空间， $a_0$ 是 $E^n$ 的给定点，则 $E^n$ 的子集

$a_0+V^q=\{a_0+x|x\in V^q\}$

称为 $E^n$ 的一个 $q$ 维超平面。

当 $q=0,1,2$ 时， $q$ 维超平面就是 $E^n$ 中的点、直线、平面。当 $q=n$ 时，易见 $n$ 维超平面就是 $E^n$ 。

考虑一下首先 $V^q$ 的概念， $V^0$ 就是一个点， $V^1$ 就是一条无限长的线， $V^2$ 就是一个无限大的面。而要加一个给定点 $a_0$ ，就是要超平面定一个位置，因为 $V^q$ 是一个向量空间，向量是可以平移的而且认为没有具体起点位置（或认为起点都是原点）。而给定 $a_0$ 就是给定所有 $V_n$ 中向量一个起点。

命题

设 $a,b\in E^n,V^q$ 是是 $E^n$ 的 $q$ 维向量子空间，则

若 $a-b\notin V^q$ ，则 $(a+V^q)\cap(b+V^q)=\emptyset$ 。
若 $a-b\in V^q$ ，则 $a+V^q=b+V^q$ 。

我们把上述命题中的超平面 $a+V^q$ 和 $b+V^q$ 称为一对平行的超平面。

若把 $a$ 看作是 $a-0$ 的一个向量（原点到点 $a$ 的向量），那么若 $a-0\in V^q$ ，则会有 $a+V^q=V^q$ ，即此时 $a+V^q$ 也成了一个向量子空间。

定义

$x=a_0+\sum_{i=1}^q\lambda_iv_i,\lambda_i\in \mathbb{R},i=1,2,...,q$ 称为 $a_0+V^q$ 关于基 $\{v_1,...,v_q\}$ 的参数方程，以有序实数组 $\{\lambda_1,...,\lambda_q\}$ 为参数。 $\{a_0;v_1,...,v_q\}$ 称为超平面 $a_0+V^q$ 的一个仿射坐标系， $(\lambda_1,...,\lambda_q)$ 称为点 $x$ 关于这个坐标系的仿射坐标。若 $q=n,e_0=(1,0,...,0),...,e_{n-1}=(0,...,0,1)$ ，则点 $x\in E^n$ 关于坐标系 $\{O;e_0,...,e_{n-1}\}$ 的仿射坐标就是直角坐标。

如果令 $a_i=a_0+v_i$ ，则式子可以改为

$x=a_0+\sum_{i=1}^q\lambda_i(a_i-a_0)$

为了不要让 $a_0$ 单独在前面那么突兀，可以引进参数

$\lambda_0=1-\sum_{i=1}^q\lambda_i$

于是就有

$\begin{cases} x=\lambda_0a_0+\lambda_1a_1+...+\lambda_qa_q\\ \lambda_0+\lambda_1+...+\lambda_q=1 \end{cases}$

命题

若 $\{v_1,...,v_q\}$ 是 $E^n$ 的向量子空间 $V^q$ 的基， $a_0\in E^n,a_i=a_0+v_i$ 。则超平面 $a_0+V^q$ 中的点都可以写成：

$\forall x\in a_0+V^q,\\ \begin{cases} x=\lambda_0a_0+\lambda_1a_1+...+\lambda_qa_q\\ \lambda_0+\lambda_1+...+\lambda_q=1 \end{cases}$

# 几何无关点组

定义

给定 $E^n$ 中的 $q+1$ 个点 $A=\{a_0,a_1,...,a_q\}$ ，如果向量组 $\{a_1-a_0,...,a_q-a_0\}$ 线性无关，则称 $A$ 为几何无关点组，否则称为几何相关的。此外约定独点集 $A=\{a_0\}$ 总是几何无关的。

命题

设 $A=\{a_0,a_1,...,a_q\}\subset E^n$ ，则 $A$ 是一个几何无关点组当且仅当方程组

$\begin{cases} \sum_{i=0}^q\lambda_ia_i=0\\ \sum_{i=0}^q\lambda_i=0 \end{cases}$

的解有且只有 $\lambda_i=0,i=0,1,...,q$ 。

例

设 $\{v_1,v_2,...,v_n\}$ 是 $0+E^n=E^n$ 的一个基（即原点为起点），那么点集合 $\{0,v_1,v_2,...,v_n\}$ 是几何无关的。然而如果把 $\{0,v_1,v_2,...,v_q\}$ 看作是向量组，它们又是线性相关的。故几何无关和线性无关是两个概念。但当点集合 $\{x_0,x_1,...,x_q\}$ 是线性无关的话， $\{x_1-x_0,...,x_q-x_0\}$ 也是线性无关的。故 $\{x_0,x_1,...,x_q\}$ 是几何无关的。可以认为线性无关是比几何无关更强的条件，但是前者描述向量集合，后者描述的是点集合。

命题

设 $A=\{a_0,a_1,...,a_q\}\subset E^n$ 是集合无关点组，则 $E^n$ 中存在唯一的一个包含 $A$ 的最低维超平面 $P(A)$ ，其维数是 $q$ ，称为由 $A$ 张成的超平面。

$P(A)$ 中的点就是满足方程：

$\begin{cases} x=\lambda_0a_0+\lambda_1a_1+...+\lambda_qa_q\\ \lambda_0+\lambda_1+...+\lambda_q=1 \end{cases}$

的全体 $x$ 的集合，且每个点 $x$ 对应的表达式都唯一。

实际上，该参数方程是从物理学中的重心概念得来的。当 $n=3,q$ 为任意正整数时，设想在点 $a_i$ 处有一个质量为 $\lambda_i\geq 0$ 的质点， $i=0,1,...,q$ ，而且这 $q+1$ 个质点的质量和为 1. 则这个质点组的重心就是给出的 $x$ 。命题中点 $x$ 确定的有序数组 $(\lambda_0,...,\lambda_q)$ 称为点 $x$ 关于超平面 $P(A)$ 的重心坐标系 $\{a_0,a_1,...,a_q\}$ 的重心坐标，超平面上关于给定重心坐标系的重心坐标是唯一的。

命题

设 $A=\{a_0,a_1,...,a_q\}$ 是 $E^n$ 的点组， $q\leq n$ 且 $a_i=(a_i^1,a_i^2,...,a_i^n),i=0,1,...,q$ 。则点组 $A$ 是几何无关的，当且仅当矩阵

$N(A)=\begin{pmatrix} 1&a_0^1&...&a_0^n\\ 1&a_1^1&...&a_1^n\\ ...&...&...&...\\ 1&a_q^1&...&a_q^n \end{pmatrix}$

的秩等于 $q+1$ 。

# 单纯形

我们现在来定义构成多面体的最基本材料。

定义

设 $A=\{a_0,a_1,...,a_q\}$ 是 $E^n$ 的几何无关点组。超平面 $P(A)$ 中所有重心坐标非负点的集合：

$\{x=\sum_{i=1}^q\lambda_ia_i\in P(A)|\sum_{i=0}^q\lambda_i=1,\lambda_i\geq 0,i=0,1,...,q\}$

称为由顶点 $a_0,a_1,...,a_q$ 张成的 $q$ 维度（闭）单纯形，或简称为 $q-$ 单形，记作 $[a_0,a_1,...,a_q]$ ，或 $[s]$ 。数 $q$ 称为单形的维数，记作 $dim[s]=q$ 。有序数组 $\{\lambda_0,\lambda_1,...,\lambda_q\}$ 仍称为点 $x=\sum_{i=0}^q\lambda_ia_i$ 的重心坐标，从而记 $x=(\lambda_0,\lambda_1,...,\lambda_q)$ 。

由定义，单纯形是一个点集，而点集中的元素由其顶点唯一确定。当 $q=0,1,2$ 时，有单纯形：

注意超平面和单纯形定义的差别就在于，单纯形要求了 $\lambda_i\geq 0$ ，故直观会形成一个 “闭合” 的凸区域，而不会无限延申。

在 $q-$ 单形 $[s]=[a_0,a_1,...,a_q]$ 中，顶点 $a_i$ 的重心坐标只有 $\lambda_i=1$ ，而其余坐标均为 0。此外所有重心坐标均相同的点 $b=(\frac{1}{q+1},...,\frac{1}{q+1})$ ，称为该单形的重心。重心坐标全为正的点称为单形的中间点，全体中间点的集合被称为单形 $[s]$ 的开单形，记作 $\langle s\rangle=\langle a_0,a_1,...,a_q\rangle$ 。至少有一个重心坐标为 0 的点称为单形的边缘点，全体边缘点的集合称为单形的边缘，记作 $\dot{s}$ 。若 $\{a_{i_0},a_{i_1},...,a_{i_r}\}$ 是 $\{a_0,a_1,...,a_q\}$ 的任意子集，那么单形 $[a_{i_0},...,a_{i_r}]$ 称为单形 $[a_0,a_1,...,a_q]$ 的一个 r 维面或 $r-$ 面，记作：

$[a_{i_0},...,a_{i_r}]\leq[a_0,a_1,...,a_q]$

特别地，0 - 面就是单形的顶点，1 - 面称为单形的棱。若 $r<q$ ，则 $r-$ 面称为真面，记作 $[a_{i_0},...,a_{i_r}]<[a_0,a_1,...,a_q]$ 。 $q-$ 单形 $[s]$ 的全体真面的并集就是它的边缘 $\dot{s}$ 。

如果以点集的方式观察单形 $[s]$ ，那么开单形 $\langle s\rangle$ 是 $[s]$ 的内部， $\dot{s}$ 是 $[s]$ 的边界。

# 单纯形的简单性质

设 $\{e_0,e_1,...,e_n\}$ 是 $E^{n+1}$ 的标准正交基，不难验证 $\{e_0,e_1,...,e_q\}$ 是几何无关的（因为线性无关可以推出几何无关），我们把 $[e_0,e_1,...,e_q]$ 称为标准 $q-$ 单形，记作 $\Delta^q$ 。标准 $q-$ 单形的优越性在于其点的重心坐标与直角坐标相一致。

下面我们说明往往可以用标准 $q-$ 单形来代替任意的 $q-$ 单形。

设 $[s]=[a_0,a_1,...,a_q]$ 是任意 $q-$ 单形，定义函数 $f:\Delta^q\rightarrow[s]$ 为

$f(x)=\sum_{i=0}^q\lambda_ia_i,x=\sum_{i=0}^q\lambda_ie_i\in\Delta^q$

这个函数实际上就是通过顶点对应 $e_i\rightarrow a_i$ ，径线性扩张来的。 $f$ 可以保持重心不变，并且是一个同胚，即它是既单又满的。

每个 $q-$ 单形均为紧致的度量空间。

命题

单形 $[s]$ 的直径 $d[s]$ 等于其最长棱的长度。即

$\max_{x,y\in [s]}\rho(x,y)=\max_{[a_0,a_1]\leq[s]}\rho(a_0,a_1)$

# 单纯复形与多面体

# 单纯复形

定义

设 $[s]$ 和 $[t]$ 是欧式空间中的两个单形，如果 $[s]\cap [t]$ 是空集或它们的一个公共面，就说 $[s]$ 和 $[t]$ 是规则相处的。

例

上面两组单形是规则相处的，而下面三组单形不是规则相处的。

定义

设 $K$ 是欧氏空间中有限个单纯形的集合，满足下列两个条件

$[s]\in K,[t]\leq [s]$ ，蕴含 $[t]\in K$ 。（向下封闭）
$[s],[t]\in K$ ，蕴含 $[s]$ 和 $[k]$ 规则相处。

则 $K$ 就称为单纯复合形，简称复形。

复形 $K$ 中的 0 - 单形和 1 - 单形仍称为 $K$ 的顶点与棱。复形 $K$ 的维数定义为：

$dim\;K=\begin{cases} -1,&K=\emptyset\\ max_{[s]\in K}dim\;[s],&K\neq\emptyset \end{cases}$

若 $K$ 的子集 $L$ 本身是复形，则 $L$ 称为 $K$ 的子复形。

定义

设 $K$ 为单纯复形，则集合 $\bigcup_{[s]\in K}[s]$ 加上欧氏空间子空间的拓扑所成的空间称为 $K$ 的多面体，记作 $|K|$ ，这时也把 $K$ 称为多面体 $|K|$ 的一个单纯剖分或三角剖分， $dim\;K$ 也称为多面体 $|K|$ 的维数，记作 $dim\;|K|$ 。如果 $L$ 是 $K$ 的子复形，则称 $|L|$ 为 $|K|$ 的子多面体。而 $(K,L)$ 与 $(|K|,|L|)$ 分别称为单纯复形偶与多面体偶。

上述定义的多面体及其单纯剖分可以作如下推广

定义

拓扑空间 $X$ 称为多面体，如果存在单纯复形 $K$ 与同胚 $f:|K|\approx X$ 。并且我们把单纯复形 $K$ 与同胚 $f$ 组成的偶 $(K,f)$ 称为空间 $X$ 的一个单纯剖分（三角剖分）。有时甚至简单地把 $K$ 说成 $X$ 的一个单纯剖分。

为了稍微区别两种定义，我们把后者所定义的称为弯曲多面体或可剖分空间，而单形的同胚象称为弯曲单形。

例

上右图的阴影部分就是一个弯曲 2 - 单形，它是 2 - 单形 $[s]=[a_0,a_2,a_3]$ 在同胚 $f$ 下的象。

# 复形的例子

例

$S^1$ 是多面体，其部分描述如下：

$K=\{[a_0],[a_1],[a_2],[a_0,a_1],[a_0,a_2],[a_1,a_2]\}$

而 $|K|$ 实际上是一个三角形，存在一个同胚 $f$ 将三角形映射成一个圆周 $S^1$ ：

同时，此时 $K$ 就成为了 $S^1$ 的一个单纯剖分。而 $S^1$ 的剖分不是唯一的，上右图也展示了一种六个顶点，六条棱的剖分。

例

平面圆环 $\{(x,y)\in E^2|1\leq x^2+y^2\leq 4\}$ ，下图展示了这个环的一个剖分：

例

环面 $S^1\times S^1$ 。它是由一个正方形先贴合左右边，在贴合上下边组成。我们可以对该正方形进行三角剖分：

他由 9 个顶点，27 个棱和 18 个三角形组成。

例：单纯形的闭包复形与边缘复形。

设 $[s^q]$ 是 $E^n$ 中的 $q-$ 单形。利用重心坐标的唯一性，可以证明： $[s^q]$ 的任意两个面规则相处。因此， $[s^q]$ 的全体面组成一个 $q$ 维复形，称为 $[s^q]$ 的闭包复形，记作 $Cl[s^q]$ 。同样， $[s^q]$ 的全体真面组成 $q-1$ 维复形，称为 $[s^q]$ 的边缘复形，记作 $Bd[s^q]$ 。显然 $Bd[s^q]$ 是 $Cl[s^q]$ 的子复形，而且

$|Cl[s^q]|=[s^q],|Bd[s^q]|=\dot{s}^q$

例

设 $K$ 是 $n$ 维复形，令

$K^r=\{[s]\in K|dim\;[s]\leq r\}$

则不难验证 $K^r$ 是 $K$ 的一个子复形，称为 $K$ 的 $r$ 维骨架。

例

1 维的单纯复形称为图，任何图都是由顶点和棱组成的。若图中有一串棱 $[a_0,a_1],[a_1,a_2],...,[a_{n-1},a_n],[a_n,a_0]$ 组成了一条闭合折线圈（该圈是一个多面体，同胚于 $S^1$ ）则这些棱及其顶点构成了一个子图（图的子复形），称为圈。没有圈的图称为树。

# 复形的单纯同调群

# 直观想法

利用基本群我们可以断定球面 $S^2$ 和 $T=S^1\times S^1$ 是不同胚的。但是对于高维空间，基本群就远远不够了，因为基本群所涉及的仅仅是不超过 2 维的图形。为了克服这个缺陷，可以引进高维同伦群的概念，也可以采用同调的方法。

我们仍考察 $S^2$ 和 $T$ 进行比较， $S^2$ 上任意简单闭曲线 $C$ 都能把 $S^2$ 分割成两部分，然而 $T$ 上的径圆 $A$ 与纬圆 $C$ 却没有这样的性质：

但 $T$ 中也有如 $B$ 这样的闭圈可以把 $T$ 分为两部分（圈里，圈外）。像这样，闭曲线 $C$ 是 $S^2$ 上一个区域的边缘， $B$ 是 $T$ 上一个区域的边缘，我们称它们为有冠闭路。而像 $T$ 上的 $A,C'$ 就是无冠的。

形象地，我们认为 $A,C'$ 闭路形成了两个 “无冠洞”。然而继续考虑上图， $A,A'$ 都是无冠的，但它们合在一起也可以围出一片区域，故称 $A\cup A'$ 是有冠的。

因此，如果把几个简单闭曲线放在一起称为组合闭曲线的话，要找出图形中有几类 “无冠洞”，就须考虑图形中所有组合闭曲线的集合按有冠的关系分成的等价类的全体。

为了能使用群的工具，要利用图形的三角剖分。考虑下图：

设环面上有两条简单闭曲线 $A,B$ 被剖分成平直的闭折线 $xyuvwx$ 与 $abcdea$ 。

我们需要规定单形的定向。1 - 单形 $[x,y]$ 有两种不同的定向，即 $xy$ 和 $yx$ ，且为相反的定向，记为 $xy=-yx$ 。而有向闭合折线 $A$ 就可写为：

$A=xy+yu+uv+vw+wx$

这种有向 1 - 单形的形式和称为 1 维链。其次，规定邮箱单形的边缘为：

$\partial(uv) = v - u,\partial(abe)=ab+be+ea$

于是有

$\partial A=(y-x)+(u-y)+(v-u)+(w-v)+(x-w)=0$

即 $A$ 无边缘，这种链称为闭链，在图形上它表示了一条平直的闭直线。又因为

$\partial(abe+bce+cde)=ab+bc+cd+de+ea=B$

说明 $B$ 又是二维链 $abe+bce+cde$ （就是三个面贴一起）的边缘，这种链称为边缘链。

我们把复形 $K$ 中所有 1 维闭链组成的交换群称为 1 维闭链群，记作 $Z_1(K)$ ；所有 1 维边缘链组成的交换群称为 1 维边缘链群，记为 $B_1(K)$ 。因 $B_1(K)$ 是所有有冠闭曲线，可见 $B_1(K)\subset Z_1(K)$ （边缘链一定是闭链）。

于是寻找图形有几类 “无冠洞” 的问题变成了计算商群 $Z_1(K)/B_1(K)$ ，这个商群就被称为 $K$ 的 1 维同调群。

# 链群

设 $[s^q]=[a_0,a_1,...,a_q]$ 是任意 $q-$ 单形，它的 $q+1$ 个顶点有 $(q+1)!$ 个不同次序的排列， $q>0$ 时，这些排列可以分成两组，同组的任意两个排列相差一个偶置换，而不同组的两个排列相差一个奇置换。这两组排列就称为单形 $[s^q]$ 的两个相反的定向。分别用这两组中的任意一个排列表示。

指定了一个定向的单形称为有向单形，譬如

$s^q=a_0a_1a_2...a_q,-s^q=a_1a_0a_2...a_q$

就是单形 $s^q$ 对应的两个有向单形，此时不再加 “[]” 和 “，”，而只用一个排列来表示。有时也可以用箭头画个圈圈来表示：

现设 $n$ 维单纯复形 $K$ 的全体单形：

$\{[s_i^q]|i=1,2,...,\alpha_q;q=0,1,...,n\}$

给其中所有单形都定向：

$\{s_i^q|i=1,2,...,\alpha_q;q=0,1,...,n\}$

称为 $K$ 的有向单形基本组。另外，对于任意整数 $n_i$ ，我们约定

$n_is_i^q=(-n_i)(-s_i^q)$

然后把以整数为系数的任意线性组合：

$x_q=n_1s_1^q+n_2s_2^q+...+n_{\alpha_q}s_{\alpha_q}^q$

称为 $K$ 的一个 $q$ 维链，或 $q-$ 链。若系数全为 0，则这个群记作 0。若 $n_i=1$ ，其余 $n_j=0$ ，那么 $x_q=s_i^q$ ，就是有向单形 $s_i^q$ 。

若 $y_q=m_1s_1^q+...+m_{\alpha_q}s_{\alpha_q}^q$ 是 $K$ 的另一个 $q$ 维链，定义他们的和为：

$x_q+y_q=\sum_{i=1}^{\alpha_q}(n_i+m_i)s_i^q$

由此定义的群形成了一个 Abel 群，记作 $C_q(K)$ ，称为 $K$ 的 $q$ 维链群。

以有向单形组 $\{s_1^q,s_2^q,...,s_{\alpha_q}^q\}$ 为基生成的 Abel 群 $C_q(K)$ ，称为 $K$ 的 $q$ 维链群。

# 边缘算子

我们用 $\hat{a}_i$ 表示式子中缺 $a_i$ 这一点，于是有：

$\partial a_0a_1a_2=(-1)^0\hat{a}_0a_1a_2+(-1)^1a_0\hat{a}_1a_2+(-1)^2a_0a_1\hat{a}_2$

一般来说， $q-$ 单形 $[s^q]=[a_0,a_1,...,a_q]$ 有 $q+1$ 个 $(q-1)-$ 面：

$[t_i^{q-1}]=[a_0,a_1,...,\hat{a}_i,...,a_q],i=0,1,...,q$

它们分别相对于顶点 $a_i,i=0,1,...,q$ 。如果规定 $s^q=a_0a_1...a_q$ ，则我们把 $t_i^{q-1}=(-1)^ia_0a_1...\hat{a}_i...a_q$ 与 $-t_i^{q-1}$ 分别称为 $s^q$ 的顺向面和逆向面。然后定义有向单形 $s^q=a_0a_1...a_q$ 的边缘为：

$\partial_qs^q=\begin{cases} 0,&q=0\\ \sum_{i=0}^q(-1)^ia_0...\hat{a}_i...a_q,&q=1,2,...,n \end{cases}$

因此 $\partial_qs^q$ 是 $s^q$ 的所有 $q-1$ 维顺向面的和。由于链群 $C_q(K)$ 是以有向单形组 $\{s_1^q,...,s_{\alpha_q}^q\}$ 为基的自由 Abel 群，因此只要将每个 $s_i^q$ 上的边缘作线性扩张，即定义：

$\partial_q(\sum_{i=1}^{\alpha_q}n_is_i^q)=\sum_{i=1}^{\alpha_q}n_i\partial_qs_i^q,\\ \sum_{i=1}^{\alpha_q}n_is_i^q\in C_q(K)$

就得到 Abel 同态：

$\partial_q:C_q(K)\rightarrow C_{q-1}(K),q=0,1,...,n$

# 闭链、边缘链与同调群

若 $q-$ 链 $c_q$ 是某 $(q+1)-$ 链 $x_{q+1}$ 的边缘，即

$c_q=\partial_{q+1}x_{q+1}$

则 $c_q$ 称为 $q$ 维边缘链或 $q-$ 边缘链，所有 $q-$ 维边缘链的集合，即 $C_{q+1}(K)$ 在 $\partial_{q+1}$ 下的象

$im\;\partial_{q+1}=B_q(K)$

称为 $q$ 维边缘链群。又若 $q-$ 链 $c_q$ 使得 $\partial_qc_q=0$ ，则 $c_q$ 称为 $q$ 维闭链或 $q-$ 闭链。

所有 $q-$ 闭链的集合，即同态 $\partial_q$ 的核：

$Z_q(K)=ker\;\partial_q=\{c_q|\partial_qc_q=0\}$

称为 $q-$ 维闭链群。

显然 $B_q(K),Z_q(K)$ 均为 $C_q(K)$ 的子群。而且事实上 $B_q(K)$ 是 $Z_q(K)$ 的子群。

边缘算子 $\partial_q$ 诱导出同态：

$C_q(K)/Z_q(K)\cong B_{q-1}(K)$

现定义商群 $H_q(K)=Z_q(K)/B_q(K)$ 为复形 $K$ 的 $q$ 维同调群，其元素是 $q-$ 闭链按子群 $B_q(K)$ 陪集分解的等价类，若 $z\in Z_q(K)$ ，则 $z$ 所在的陪集称为 $z$ 所代表的 $q$ 维同调类，记作 $[z]$ 。

例

我们考察一个三角形区域内挖去一个小三角形的空间（浅蓝色区域） $x$ ，然后随便找一个它的三角剖分（图中黑色线）。然后将所有 2 - 单形（即剖分出来的小三角形）均定向为逆时针，然后有（ $q=2$ )：

$c_1^2=A_2B_2A_1\\ c_2^2=A_2B_3B_2\\ c_3^2=A_2A_3B_3\\ c_4^2=B_3A_3B_1\\ c_5^2=B_1A_3A_1\\ c_6^2=A_1B_2B_1\\ x=\sum_{i=1}^6c_i^2$

然后求一下边缘算子，就有：

$\partial_2x=\sum_{i=1}^6\partial_2 c_i^2\\ =B_2A_1-A_2A_1+A_2B_2\\ +B_3B_2-A_2B_2+A_2B_3\\ +A_3B_3-A_2B_3+A_2A_3\\ +A_3B_1-B_3B_1+B_3A_3\\ +A_3A_1-B_1A_1+B_1A_3\\ +B_2B_1-A_1B_1+A_1B_2\\ =-A_2A_1+B_3B_2+A_2A_3-B_3B_1+A_3A_1+B_2B_1\\ =A_1A_2+A_2A_3+A_3A_1-B_1B_2-B_2B_3-B_3B_1$

例

设有向 1 - 单形 $a_0a_1$ 的边缘为 $a_1-a_0$ ，故 $a_1-a_0\in B_1(K)$ ，即 $a_1\sim a_0$ ，在子群 $B_1(K)$ 的陪集意义上等价。

若有有向棱 $a_0a_1,a_1a_2,...,a_{r-1}a_r$ ，则 $\partial(a_0a_1+a_1a_2+...+a_{r-1}a_r)=a_r-a_0\in B_q(K)$ ，故 $a_0\sim a_r$ 。

例

若 $a_0a_1a_2$ 是有向 2 - 单形，因为 $\partial a_0a_1a_2=a_1a_2-a_0a_2+a_0a_1\in B_q(K)$ ，故 $a_0a_1+a_1a_2\sim a_0a_2$ 。（道路的等价性）

例

设 $K$ 是 $n$ 维复形， $r\leq n$ ，则对 $0\leq q<r$ ，有

$H_q(K^r)\cong H_q(K)$

# 单纯同调群的计算实例

# 关于连通分支的分解

设单纯复形 $K$ 是 $k$ 个连通分支 $K_1,...,K_k$ 的并，则

$H_q(K)\cong H_q(K_1)\times ...\times H_q(K_k),q\in\mathbb{Z}$

# 零维同调群

我们可以证明，任意复形 $K$ 的零维同调群是同构于整数加法群的。

以一个三角形 $ABC$ 为例，其链群为：

$C_2(K)=\{nABC|n\in\mathbb{Z}\}\\ C_1(K)=\{n_1AB+n_2AC+n_3BC|n_1,n_2,n_3\in\mathbb{Z}\}\\ C_0(K)=\{n_1A+n_2B+n_3C|n_1,n_2,n_3\in\mathbb{Z}\}$

然后有

$Z_0(K)=ker\;\partial_0=\{s|\in C_0(K),\partial_0s=0\}$

而 $\partial_0s\equiv 0$ ，故有 $Z_0(K)=C_0(K)$ 。即 “任意一维链条都是闭链。” 而

$B_0(K)=im\;\partial_1=\{n_1(B-A)+n_2(C-A)+n_3(C-B)|n_1,n_2,n_3\in\mathbb{Z}\}\\ =\{m_1A+m_2B-(m_1+m_2)C|m_1,m_2\in\mathbb{Z}\}$

我们定义:

$\varepsilon:C_0(K)\rightarrow \mathbb{Z}\\ \varepsilon(n_1A+n_2B+n_3C)=n_1+n_2+n_3$

于是有 $s\in B_0(K)\Leftrightarrow \varepsilon(s)=0$ 。因此有 $B_0(K)=ker\;\varepsilon$ 。

而 $\varepsilon$ 显然形成了一个群同态 $\varepsilon:C_0(K)\rightarrow\mathbb{Z}$ ，故根据群同态基本定理：

$Z_0(K)/B_0(K)=C_0(K)/ker\;\varepsilon\cong im\;\varepsilon=\mathbb{Z}$

即 $H_0(K)\cong\mathbb{Z}$ 。很神奇吧。其中， $\varepsilon$ 被称作复形的指数，有时记为 $ind\;s$ 。

# 锥形复形

设 $K$ 是 $E^n$ 中的一个复形，而 $v=(0,0,...,0,1)\in E^{n+1}$ ，那么对 $K$ 中的任意单形 $[a_{i_0},a_{i_1},...,a_{i_q}]$ ，易见 $[v,a_{i_0},a_{i_1},...,a_{i_q}]$ 仍是一个几何无关点组，因此它是 $E^{n+1}$ 中的一个单形，记作 $v*[a_{i_0},...,a_{i_q}]$ 。令

$v*K=\{v\}\cup\{v*[s]|[s]\in K\}\cup K$

可以证明 $v*K$ 成为了 $E^{n+1}$ 空间中的一个单纯复形，称为 $K$ 上以 $v$ 为顶点的锥形复形，且 $dim\;v*K=1+dim\;K$ 。

易见锥形复形也是连通的，故 $H_0(v*K)\cong\mathbb{Z}$ ，锥形复形的其他维同调群为：

$H_r(K)=\begin{cases} \mathbb{Z},&r=0\\ 0,&r\neq 0 \end{cases}$

# 奇异同调群

# 奇异同调群的定义

# 奇异单形

定义

设 $X$ 是拓扑空间， $q$ 是非负整数， $X$ 上的奇异 $q-$ 单形是从标准 $q-$ 单形 $\Delta^q=[e_0,e_1,...,e_q]$ 到 $X$ 的一个映射 $\sigma:\Delta^q\rightarrow X$ 。

与道路的定义相仿，应当注意，奇异 $q-$ 单形是指映射本身，而不是 $\Delta^q$ 在在 $\sigma$ 下的象。

例

设 $\sigma:\Delta^1\rightarrow E^2$ 是给定的奇异 1 - 单形， $\sigma(\lambda_0,\lambda_1)=(\lambda_1,\lambda_1^2),\lambda_1\in I$ ，若定义一个新的奇异 1 - 单形 $\sigma'$ 为：

$\sigma'(\lambda_0,\lambda_1)=\begin{cases} (2\lambda_1,4\lambda_1^2),&0\leq\lambda_1\leq\frac{1}{2}\\ (1,1),&\frac{1}{2}\leq\lambda_1\leq 1 \end{cases}$

则 $\sigma$ 和 $\sigma'$ 是不同的奇异 1 - 单形，然而它们的象是一样的。

例

空间 $X$ 中的每个点 $x$ 唯一确定一个奇异 0 - 单形，它把 $\Delta^0=e_0$ 映成 $X$ 中的点 $x$ ，因此只要不发生混淆，我们常用 $x$ 表示这个奇异 0 - 单形。

例

顶点对应 $e_0\rightarrow 0,e_1\rightarrow 1$ 确定保持重心坐标的同胚 $\Delta^1\approx I$ 。通过这个同胚，任意道路 $\alpha:I\rightarrow X$ 唯一确定奇异 1 - 单形 $\alpha^+$ 为：

$\alpha^+(\lambda_0,\lambda_1)=\alpha(\lambda_1),\lambda_1\in I$

例

设 $A$ 与 $B$ 是 $E^n$ 的两个凸集， $f:A\rightarrow B$ 是映射，使得：对 $A$ 中任意凸组合 $\sum_{i=0}^m\lambda_ia_i$ ，有

$f(\sum_{i=0}^m\lambda_ia_i)=\sum_{i=0}^m\lambda_if(a_i)$

则 $f$ 称为 $A$ 到 $B$ 的线性映射。显然线性映射的合成仍是线性映射。现设 $\{a_0,a_1,...,a_q\}$ 是凸集 $X$ 中的有序点列，则由：

$\sigma(\lambda_0,\lambda_1,...,\lambda_q)=\sum_{i=0}^q\lambda_ia_i,\quad(\lambda_0,\lambda_1,...,\lambda_q)\in\Delta^q$

定义了 $X$ 上的奇异 $q-$ 单形 $\sigma$ 。可以证明 $\sigma$ 是线性映射，称为 $X$ 上的线性奇异 $q-$ 单形，记作 $l(a_0,a_1...a_q)$ 。它由对应

$e_i\rightarrow a_i$

完全确定。就是可以理解为把正交坐标系转化为了其他坐标系。

# 奇异链群

设 $X$ 是拓扑空间， $q$ 是非负整数，令 $\Sigma_q(X)$ 表示 $X$ 上全体奇异 $q-$ 单形的集合。则我们把奇异 $q-$ 单形的整系数有限线性组合

$x_q=\sum_{i=1}^kn_i\sigma_i,\sigma_i\in\Sigma_q(X),n_i\in\mathbb{Z}$

称为 $X$ 上的奇异 $q-$ 链。当所有的 $n_i\equiv 0$ ，则把这个奇异 $q-$ 链记为 0。而且也可以定义奇异链的加和：

$\sum n_j\sigma_j+\sum m_j\sigma_j=\sum(n_j+m_j)\sigma_j$

此时，就生成了一个 $X$ 上的奇异 $q-$ 链群，记为 $\Delta_q(X)$ 。当 $q<0$ 或 $X=\emptyset$ 时，我们约定 $\Delta_q(X)=0$ 。

# 边缘算子

设 $\sigma:\Delta^q\rightarrow X$ 是奇异 $q-$ 单形， $\Delta^q$ 有 $q+1$ 个 $(q-1)-$ 面 $[e_0,...,\hat{e}_i,...,e_q]$ ，如果把 $\sigma$ 限制在这些面上，就得到了 $q+1$ 个连续映射：

$\sigma\;|\;[e_0,...,\hat{e}_i,...,e_q]:[e_0,...,\hat{e}_i,....,e_q]\rightarrow X$

除了 $i=q$ 之外，其他的 $[e_0,...,\hat{e_i},...,e_q]$ 将不再是标准的 $q-1$ 单形，但是它们还是与 $\Delta^{q-1}$ 是同胚的。

我们可以定义一个线性映射： $d_i^q:\Delta^{q-1}\rightarrow\Delta^q$

$d_i^q(\lambda_0,\lambda_1,...,\lambda_{q-1})=(\lambda_0,...,\lambda_{i-1},0,\lambda_{i},...,\lambda_{q-1})\\ \begin{cases} e_j\rightarrow e_j,&0\leq j<i\\ e_j\rightarrow e_{j+1},&i\leq j\leq q-1 \end{cases}$

当 $q=2$ ， $d_0^2,d_1^2,d_2^2$ 的意义如下图所示：

可以理解为，分别取 $e_0,e_1,e_2$ 前的系数都是 0，然后都是个线段。

现在，我们自然定义 $\sigma$ 的第 $i$ 个面为合成映射：

$\sigma^{(i)}=\sigma\circ d_i^q:\Delta^{q-1}\rightarrow X$

而把 $(-1)^i\sigma^{(i)}$ 称为奇异 $q-$ 单形 $\sigma$ 的第 $i$ 个顺向面，把 $\sum_{i=0}^q(-1)^i\sigma^{(i)}$ 称为 $\sigma$ 的边缘，记作：

$\partial_q\sigma=\sum_{i=0}^q(-1)^i\sigma^{(i)},\sigma\in\Sigma_q(X)$

故有线性同态：

$\partial_q:\Delta_q(X)\rightarrow\Delta_{q-1}(X)$

引理

若 $0\leq i<j\leq q$ ，则 $d_j^q\circ d_i^{q-1}=d_i^q\circ d_{j-1}^{q-1}$ 。

这个展开推导一下就好了。

例

设 $\alpha:I\rightarrow X$ ，则有

$\partial(\alpha^+)=\alpha(1)-\alpha(0)$

例

设 $\sigma\in\Sigma_2(X)$ ，则

$\partial\sigma=\sigma^{(0)}-\sigma^{(1)}+\sigma^{(2)}=\sigma\circ d_0^{2}-\sigma\circ d_1^2+\sigma\circ d_2^2$

奇异 2 - 单形 $\sigma$ 可描述为：

就是 $e_0,e_1,e_2$ 应该看作三个维度（如下），然后奇异单形实际上描述的是从上左图到上右图的一个映射。而 $\partial\sigma$ 粗糙地理解，就是三条边对应的路径。因为 $\partial\sigma:\Delta^1\rightarrow X$ 而 $\Delta^1\approx I$ 。

# 奇异同调群

如同单纯同调群那样，我们分别定义 $\ker\;\partial_q$ 和 $im\;\partial_{q+1}$ 为空间 $X$ 上的奇异 $q-$ 闭链群与 $q-$ 边缘链群，分别记作 $Z_q(X)$ 与 $B_q(X)$ 。

定义

空间 $X$ 的奇异 $q-$ 同调群是商群 $Z_q(X)/B_q(X)$ 记作 $H_q(X),z\in Z_q(X)$ 所代表的等价类称为奇异 $q-$ 同调类，记为 $[z]$ 。

例

设 $\alpha$ 是 $X$ 中的道路，则 $\alpha$ 是闭路当且仅当 $\alpha^+$ 是闭链。又若 $\alpha$ 和 $\beta$ 是 $X$ 中等价的道路，则 $\alpha^+\sim\beta^+$ 。

# 诱导同态与拓扑不变性

先考虑连续映射 $f:X\rightarrow Y$ 对奇异单形的作用。 $\sigma:\Delta^q\rightarrow X$ 是 $X$ 上的一个奇异单形，那么 $f\circ\sigma:\Delta^q\rightarrow Y$ 就是 $Y$ 上的一个奇异单形。

于是给定连续映射 $f$ ，我们就可以定义链群间的同态（有时也记为 $f_{\Delta}$ ）：

$f_q:\Delta_q(X)\rightarrow\Delta_q(Y)\\ f_q(\sigma)=f\circ\sigma$

特别地，可以考虑 $\sigma:\Delta^q\rightarrow X$ 本身就是一个映射，故有：

$\sigma_{\Delta}:\Delta_p(\Delta^q)\rightarrow\Delta_p(X)$

# 拓扑空间

# 拓扑空间

# 度量空间

# 度量空间的开集

# 拓扑空间

# 拓扑基

# 关于子集的基本概念

# 闭集

# 邻域、内部与闭包

# 连续映射与同胚

# 连续映射及其基本特征

# 映射举例

# 同胚

# 紧致性

# 紧致空间

# 紧致空间的性质

# Hausdorff 空间中的紧致性

# 度量空间的紧致性

# 连通性

# 连通空间

# 子集的连通性

# 道路连通性

# 乘积空间

# 乘积空间与乘积拓扑

# 积空间的连续性

# 有限可积性质

# 粘合空间

# 粘合拓扑

# 例子

# 基本群

# 映射的同伦与空间的同伦型

# 映射的同伦

# 空间的同伦型

# 零伦与可缩空间

# 相对同伦

# 基本群的定义

# 道路类的积

# 基本群的构成

# 基点的改变

# 基本群的计算实例

# 基本群是同伦型不变量

# S1S^1S1 的基本群

# 环面的基本群

# 基本群的应用

# 区别空间的同伦型

# 多面体及其单纯同调群

# 欧式空间中的超平面与单纯形

# 超平面

# 几何无关点组

# 单纯形

# 单纯形的简单性质

# 单纯复形与多面体

# 单纯复形

# 复形的例子

# 复形的单纯同调群

# 直观想法

# 链群

# 边缘算子

# 闭链、边缘链与同调群

# 单纯同调群的计算实例

# 关于连通分支的分解

# 零维同调群

# 锥形复形

# 奇异同调群

# 奇异同调群的定义

# 奇异单形

# 奇异链群

# 边缘算子

# 奇异同调群

# 诱导同态与拓扑不变性

回忆一下最近读过的小说

数学建模

# $S^1$ 的基本群