曼波，曼波，哦麻吉丽，曼波。

# 省流简要版（考前翻书）

# SO (3) 群的方位角、Euler 角群参数。SO (3) 群的类。

定义绕 $\mathbf{j},\mathbf{k}$ 轴旋转的矩阵为：

$C_{\mathbf{j}}(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta\\ 0 & 1 & 0\\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{pmatrix},\quad C_{\mathbf{k}}(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

注意，这里绕 $\mathbf{j}$ 轴考虑右手系，需要把 $-\sin\theta$ 放在左下角。

那么 SO (3) 中的群元素有两种参数形式：

方位角参数。SO (3) 群中元素描述了一个旋转，如下图所示

其中 $\theta\in[0,\pi],\varphi\in[0,2\pi],\psi\in[0,\pi]$ 被称为方位角。这样一个旋转的矩阵形式为

$C_{\mathbf{k}}(\varphi)C_{\mathbf{j}}(\theta)C_{\mathbf{k}}(\psi)C_{\mathbf{j}}(\theta)^{-1}C_{\mathbf{k}}(\varphi)^{-1}.$

这样 5 个矩阵乘起来表达了所有 SO (3) 群中的元素，但表达不唯一。譬如 $\psi=\pi,\varphi=0$ 时， $\theta=0$ 和 $\theta=\pi$ 的旋转是相同的。

Euler 角群参数。SO (3) 群元素可以用三个角度 $\alpha\in[0,2\pi),\beta\in[0,\pi],\gamma\in[0,2\pi)$ 表达为：

$C_{\mathbf{k}}(\alpha)C_{\mathbf{j}}(\beta)C_{\mathbf{k}}(\gamma).$

这样表达也不唯一。譬如 $\beta=\pi$ 时，所有 $\alpha-\gamma$ 一样的旋转都是相同的。

SO (3) 群中两个元素属于同一个类当且仅当它们对应的旋转角度相同。即共轭运算只改变旋转轴。所以可以用方位角 $\psi$ 描述类。

# SU (2) 群的 Cayley-Klein 参数，和 SO (3) 群同态关系以及群参数间的对应关系。

SU (2) 群的元素可以唯一地表示为

$\begin{pmatrix} a & b\\ -b^* & a^* \end{pmatrix},\quad a,b\in\mathbb{C}, |a|^2+|b|^2=1.$

其中 $a,b\in\mathbb{C}$ 称为群 SU (2) 的 Cayley-Klein 参数。

考虑 Pauli 矩阵 $\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$ ，我们构建如下对应关系：

$\begin{aligned} & \text{三维实数向量}(x,y,z) && \iff && \text{2维零迹Hermitian矩阵}x\sigma_x+y\sigma_y+z\sigma_z\\ & \text{在$R\in SO(3)$下旋转}(x',y',z')=R(x,y,z) && \iff && \text{在$U\in SU(2)$下作用}U(x\sigma_x+y\sigma_y+z\sigma_z)U^\dagger=x'\sigma_x+y'\sigma_y+z'\sigma_z\\ \end{aligned}$

注意，这里第一行是一一对应关系，因为所有二维零迹矩阵都可以唯一在 Pauli basis 下分解。

第二行不是一一对应关系，但是 $U(x\sigma_x+y\sigma_y+z\sigma_z)U^\dagger$ 仍然是一个二维零迹矩阵。

可以分析得， $U,-U\in SU(2)$ 对应了同一个 $R\in SO(3)$ 。

上述对应关系实际上是一个同态，即保持了乘法关系：

$R_1 R_2(x,y,z)=(x',y',z')\iff U_1 U_2(x\sigma_x+y\sigma_y+z\sigma_z)U_2^\dagger U_1^\dagger=x'\sigma_x+y'\sigma_y+z'\sigma_z.$

所以说，我们认为 SU (2) 和 SO (3) 有一个 2:1 的同态关系。每一个 SO (3) 元素都对应于 $U,-U$ 两个 SU (2) 元素。

特别地，我们给出生成元之间的对应 SO (3) $\to$ SU(2)：

$C_{\mathbf{k}}(\alpha)\longrightarrow \pm\begin{pmatrix} e^{-i\alpha/2} & 0\\ 0 & e^{i\alpha/2} \end{pmatrix},\qquad C_{\mathbf{j}}(\beta)\longrightarrow \pm\begin{pmatrix} \cos(\beta/2) & -\sin(\beta/2)\\ \sin(\beta/2) & \cos(\beta/2) \end{pmatrix}.$